2.5. Линейные системы
Вуорое свойство собственной функции, которое мы хотим показать, состоит в том, что комплексные экспоненциальные функции
являются собственными функциями для линейных инвариантных во времени систем. В абстрактном обозначении это означает
где
- произвольный линейный оператор. Линейный оператор обладает свойством
Очевидно, для нерекурсивных фильтров в форме
подстановка вида
с выделением экспоненциального члена, зависящего от
, приводит к выходной функции
где
Таким образом, функция
которую мы ввели в правую часть уравнения, может быть вынесена в виде множителя выражения и оказывается умноженной на свое собственное значение
Собственное значение
конечно, константа, поскольку речь идет о
или, что аналогично, об
Нетрудно видеть, что подобная ситуация применима и к рекурсивным фильтрам. Необходимо только подставить комплексные экспоненты с одинаковыми частотами, но желательно с разными амплитудами для и
и отметить, что результат является выражением, не зависящим от
Заслуживает внимания тот факт, что экспоненциальная функция есть также собственная функция, соответствующая вычислительным операциям дифференцирования
и интегрирования
Кроме того, экспоненциальная функция является собственной функцией для операции вычисления разностей, так как
Таким образом, видно вопреки впечатлению, полученному из обычного курса исчисления, что степенные функции от х не являются собственными функциями
исчисления. Вместо них экспоненциальные функции, действительные или комплексные, являются натуральными, характеристическими, собственными функциями исчисления.
Упражнения
(см. скан)