2.5. Линейные системы

Вуорое свойство собственной функции, которое мы хотим показать, состоит в том, что комплексные экспоненциальные функции являются собственными функциями для линейных инвариантных во времени систем. В абстрактном обозначении это означает

где - произвольный линейный оператор. Линейный оператор обладает свойством

Очевидно, для нерекурсивных фильтров в форме

подстановка вида с выделением экспоненциального члена, зависящего от , приводит к выходной функции

где

Таким образом, функция которую мы ввели в правую часть уравнения, может быть вынесена в виде множителя выражения и оказывается умноженной на свое собственное значение Собственное значение конечно, константа, поскольку речь идет о или, что аналогично, об

Нетрудно видеть, что подобная ситуация применима и к рекурсивным фильтрам. Необходимо только подставить комплексные экспоненты с одинаковыми частотами, но желательно с разными амплитудами для и и отметить, что результат является выражением, не зависящим от

Заслуживает внимания тот факт, что экспоненциальная функция есть также собственная функция, соответствующая вычислительным операциям дифференцирования

и интегрирования

Кроме того, экспоненциальная функция является собственной функцией для операции вычисления разностей, так как

Таким образом, видно вопреки впечатлению, полученному из обычного курса исчисления, что степенные функции от х не являются собственными функциями

исчисления. Вместо них экспоненциальные функции, действительные или комплексные, являются натуральными, характеристическими, собственными функциями исчисления.

Упражнения

(см. скан)