11.2. Приведение к более простой форме

Напомним, что для получения гладких фильтров было применено преобразование, которое превращало эту задачу в задачу, эквивалентную приближению полинома к требуемой характеристике передаточной функции (разд. 7.2). В случае рекурсивного фильтра имеется не полином, а скорее рациональная функция от синусов и косинусов. Из математического анализа известно, что рациональная функция от синусов и косинусов может быть приведена к рациональной функции от с помощью подстановки «тангенса половинного угла»

Прежде, чем слепо применять эту подстановку, необходимо понять, как и почему ее полезно применять. Исходным является то, что мы имеем рациональную функцию относительно

Когда имеется полином от то самая общая подстановка «один к одному», которую можно сделать для сохраняя при этом полиномиальную форму той же степени, есть линейная подстановка

Однако для рациональной функции имеется более широкий класс подстановок, не изменяющих основную форму и сложность. Например, можно использовать дробнолинейное преобразование

Отметим, что здесь один из коэффициентов можно взять равным 1.

Сначала зададим вопрос: «Какие преобразования в этом трехпараметрическом семействе

обладают тем свойством, что для действительного получается действительное Эти преобразования можно найти следующим образом.

Для фиксации «фазы» частоты (которая иначе была бы произвольной и вносила бы только путаницу) потребуем, чтобы соответствовало Это означает

Поскольку один из коэффициентов произвольный, то можно положить

Теперь мы имеем

Для того чтобы определить «направление» преобразования, можно потребовать, чтобы

Это означает, что при получается

Теперь мы имеем

И наконец, для того чтобы установить «масштаб» преобразования, можно потребовать, чтобы

Это означает, что

Умножив обе части на , получим

откуда следует, что

Итак, окончательно (используя три условия) получаем для искомого преобразования

Отметим, что для действительных каждая сторона равенства имеет абсолютное значение, равное 1.

Записав эту формулу в «действительной» форме

и приравняв действительную и мнимую части, получим обычные формулы «тангенса половинного угла»

Как установлено в начале этого раздела,

При применении этого преобразования передаточная функция становится рациональной функцией от с комплексными коэффициентами.

Прежде чем продолжить, исследуем это преобразование (рис. 11.2.1). Когда исходная переменная проходит от 0 до новая переменная изменяется от 0 до Благодаря симметрии при изменении от 0 до изменяется от 0 до

Для передаточной функции рекурсивного фильтра теперь имеется рациональная функция от с действительным но все еще с комплексными коэффициентами. Обычно пренебрегают эффектами, вызванными влиянием мнимых членов, т. е. фазовой зависимостью (для каждой частоты) между входом и выходом фильтра. В математических терминах это означает, что пренебрегают фактическим

Рис. 11.2.1. Частотное преобразование

комплексным значением отношения и концентрируют внимание только на его абсолютной величине. Этот шаг сделать легче всего с помощью произведения на ее комплексно-сопряженное значение. Конечно, произведение будет действительной величиной. Поскольку встречается в формулах только с то процедура будет такой же, как и при применении

Подводя итог, отметим, что мы заменили исходную задачу, задачу аппроксимации для рекурсивного фильтра заданной передаточной функции в интервале Найквиста, на задачу согласования квадрата модуля передаточной функции вдоль всей действительной оси . В последней задаче опускается вся информация о фазовых соотношениях между входными и выходными частотами сигнала (см. также разд. 11.6). Применив преобразование тангенса половинного угла, сведем задачу к приближению рациональной функции от в диапазоне от до к заданному квадрату модуля передаточной функции (преобразованному, конечно, к переменной