4.6. Класс функций и скорость сходимости
При предположении интегрируемости 
и ее квадрата мы нашли, что коэффициенты Фурье 
стремятся к нулю, когда 
стремится к бесконечности. Этот результат еще не доказывает, что ряд сходится, и еще меньше доказывает, что если он действительно сходится, то будет приближаться к исходной функции 
Поэтому исследуем скорость сходимости, а затем выясним, к какой функции этот ряд приближается.
Какой класс функций следует рассмотреть для наших применений? Почти во всех рассмотренных задачах была нужна, в худшем случае, функция, состоящая из конечного числа частей (смежных интервалов) таких, что на каждом интервале существуют все требуемые производные (если необходимо, то можно предположить, что эта функция аналитическая в каждой части). Следовательно, мы используем кусочно-аналитические функции. Кусочно-аналитическое свойство требует, если мы хотим быть очень аккуратными, применения левосторонних и правосторонних производных на концах интервалов. Но будем рассчитывать на осведомленность читателя. Этот класс функций допускает скачки, изломы и подобные особенности: скачки функции, если функция разрывна, изломы в функции, если первая производная разрывна, внезапные изменения кривизны, если вторая производная разрывна и т. д.
Что представляют собою коэффициенты Фурье для функции, заданной из этого класса? Для 
частей
(интервалов) имеем
где 
а другие 
отмечают концы интервалов, где у функции имеются разрывы. Подобная формула применима и для 
Далее, интегрируя по частям, получим
Если функция непрерывна [напомним, что это понятие включает условие 
], то проинтегрированная часть будет сокращаться для всех 
Однако, если функция не непрерывна, то она не всегда будет сокращаться и коэффициенты 
в общем случае, будут порядка 
Если сокращение происходит, то можно снова интегрировать по частям
На этот раз необходима непрерывность первой производной для того, чтобы проинтегрированная часть сократилась. Продолжая подобным образом, находим, что при разрывах функции коэффициенты разложения Фурье имеют некоторые слагаемые порядка 
если разрывы имеет первая производная — порядка 
если вторая — порядка 
Аналогичные выводы справедливы и для коэффициентов 
Еслн коэффициенты имеют порядок 
то поскольку величина тригонометрических функций не превышает 1, имеем сходимость ряда Фурье. Только в случае разрывной функции необходим более тщательный анализ.
