Главная > Цифровые фильтры (Хемминг Р.В.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.6. Класс функций и скорость сходимости

При предположении интегрируемости и ее квадрата мы нашли, что коэффициенты Фурье стремятся к нулю, когда стремится к бесконечности. Этот результат еще не доказывает, что ряд сходится, и еще меньше доказывает, что если он действительно сходится, то будет приближаться к исходной функции Поэтому исследуем скорость сходимости, а затем выясним, к какой функции этот ряд приближается.

Какой класс функций следует рассмотреть для наших применений? Почти во всех рассмотренных задачах была нужна, в худшем случае, функция, состоящая из конечного числа частей (смежных интервалов) таких, что на каждом интервале существуют все требуемые производные (если необходимо, то можно предположить, что эта функция аналитическая в каждой части). Следовательно, мы используем кусочно-аналитические функции. Кусочно-аналитическое свойство требует, если мы хотим быть очень аккуратными, применения левосторонних и правосторонних производных на концах интервалов. Но будем рассчитывать на осведомленность читателя. Этот класс функций допускает скачки, изломы и подобные особенности: скачки функции, если функция разрывна, изломы в функции, если первая производная разрывна, внезапные изменения кривизны, если вторая производная разрывна и т. д.

Что представляют собою коэффициенты Фурье для функции, заданной из этого класса? Для частей

(интервалов) имеем

где а другие отмечают концы интервалов, где у функции имеются разрывы. Подобная формула применима и для

Далее, интегрируя по частям, получим

Если функция непрерывна [напомним, что это понятие включает условие ], то проинтегрированная часть будет сокращаться для всех Однако, если функция не непрерывна, то она не всегда будет сокращаться и коэффициенты в общем случае, будут порядка Если сокращение происходит, то можно снова интегрировать по частям

На этот раз необходима непрерывность первой производной для того, чтобы проинтегрированная часть сократилась. Продолжая подобным образом, находим, что при разрывах функции коэффициенты разложения Фурье имеют некоторые слагаемые порядка если разрывы имеет первая производная — порядка если вторая — порядка Аналогичные выводы справедливы и для коэффициентов

Еслн коэффициенты имеют порядок то поскольку величина тригонометрических функций не превышает 1, имеем сходимость ряда Фурье. Только в случае разрывной функции необходим более тщательный анализ.

1
Оглавление
email@scask.ru