5.9. Окно фон Ганна: приподнятое косинусное окно

Усечение ряда Фурье это то же самое, что наблюдение исходной функции через свертывающее окно. В идеале надо бы иметь высокое и узкое окно единичной площади, так что то, что «видно» через него, очень близко к исходной функции в середине (симметричного) окна. К сожалению, одновременно хочется использовать и минимально возможное число членов в ряде Фурье, но это означает, что применяемое окно должно быть широким.

Ширина окна может быть измерена расстоянием между ближайшими нулями на каждой стороне центрального лепестка — основного лепестка окна. Она может быть также определена, но уже в другом смысле, с помощью лепестков, которые находятся дальше от центра. Позднее будет показано, что основной лепесток приводит к появлению переходной полосы (области между полосой затухания и полосой пропускания), а боковые лепестки приводят к появлению пульсаций (явление Гиббса), которые могут рассматриваться как «загрязнение» наблюдаемой части функции соседними с нею частями.

Поскольку нас интересуют передаточные функции (хотя результаты применимы к произвольным функциям) перейдем к -обозначению.

Простое прямоугольное окно (разд. приводит к свертывающему окну, через которое наблюдается функция:

Модифицированное прямоугольное окно (разд. 5.7) отличается только тем, что берется половина концевых значений, но оно сдвигает в свертывающем окне первые нули от

Оно также вносит дополнительный косинусный множитель, постепенно гасящий боковые лепестки по мере их удаления от центра окна. На рис. 5.7.1 иллюстрируется это изменение для членов в окончательном фильтре); небольшой проигрыш в ширине главного лепестка вполне компенсируется уменьшением высот других лепестков. Сигма-факторы при окие Ланцоша также показывают, как уменьшение весовых множителей у коэффициентов ряда Фурье может значительно уменьшить величины боковых лепестков. Третья кривая на этом рисунке будет объяснена позже.

Предыдущие замечания наводят на мысль о целесообразности более строгого нмвеишнании коэффициентов Фурье, сохраняемых в процессе усечения. Это производится в окне фон Ганна, называемом также «приподнятым косинусным окном» из-за его определения

Взвешенная последовательность из членов, когда она изображается как непрерывная функция, не только исчезает на концах, но является там также касательной.

Соответствующее преобразование окна Ганна в частотной области есть функция

Поскольку уменьшение пдпос конечных значений не дает эффекта. Применив результаты разд. 5.7 к трем отдельным слагаемым суммы, получим выражение

которое может быть записано в видё

Раскрывая синусы в числителях крайних членов, получим

Далее, применяя тригонометрическое равенство

получим

Этот результат можно переписать в форме, которая лучше показывает зависимость от параметров, что дает

Нули знаменателя в скобках компенсируются соответствующими нулями в переднем множителе и имеет конечное значение для Когда

Первый нуль имеет место при Поэтому это окно в два раза шире модифицированного окна, но, как видно из рис. 5.7.1, боковые лепестки у него значительно уменьшены. По сути дела это окно представляет собой сумму трех модифицированных окон: одного при величиной 0,25, другого при величиной 0,5 и, наконец, третьего при величиной 0,25.