8.7. Теорема свертки

Для наших целей, возможно, наиболее важной теоремой в теории интегралов Фурье (после формул преобразования) является теорема свертки, которая соответствует прежним теоремам свертки для рядов Фурье (разд. 5.5). Допустим, что имеются две функции . Свертка от определяется как

(отметим, что она отличается от прежнего определения в разд. 5.5, где предполагалась периодичность этих функций). Переменной интегрирования является рассматривая переменную как фиксированную при интегрировании, изменим переменную интегрирования При этом свертка становится

Поэтому (как и прежде) свертка будет той же самой, что и свертка

Естественно спросить: «А что же такое преобразование Фурье от свертки?» По определению, преобразование Фурье от есть

Подстановка для дает

Таким образом, мы получили важный вывод, что преобразование Фурье от свертки двух функций есть произведение их. преобразований Фурье.

Предыдущий результат был показан во временной области, но благодаря симметрии преобразований он одинаково применим и в частотной области.

Иногда представляет интерес свертка функции самой с собой. Мы имеем

Дважды применяя преобразование Фурье [для ], получим

а для имеем

Записанное в форме

оно известно как теорема Парсеваля.

Упражнения

(см. скан)