12.2. Полиномы Чебышева

Полиномы Чебышева определяются как

По этому определению, не имеет вид полинома степени Однако в разд. 9.2 было показано, что есть полином относительно точно степени Отсюда следует, что поскольку то наше определение полинома Чебышева действительно, определяет полином степени

Полиномы Чебышева тесно связаны с косинусными функциями, что вытекает из следующей замены переменной:

или, эквивалентно,

Рис. 12.2.1 поясняет характер преобразования и показывает, как оно растягивает шкалу независимой переменной при переходе от одного обозначения к другому (равноотстоящим не соответствуют равноотстоящие Полиномы для отрицательных индексов удобно определять по формуле

Рис. 12.2.1.

Косинусы являются ортогональными функциями (на непрерывном интервале и дискретном множестве точек), следовательно, непрерывные полиномы Чебышева также являются ортогональными с некоторой весовой функцией на интервале Доказательство этого начнем с применения условий ортогональности из разд. 4.4 (как следует из разд. 10.2, для них существуют также дискретные варианты)

Заменяя переменную с на х и используя получим

Из этого соотношения видно, что полиномы Чебышева ортогональны на интервале с весовой функцией

Для дискретного множества точек роль весовой функции, обеспечивающей получение ортогональности при суммировании по точкам дискретизации, выполняет неравномерное распределение точек дискретизации.

Из тригонометрического равенства

при замене переменной на х, получаем трехчленное рекуррентное соотношение

Теперь ясно, как образовать несколько первых полиномов Чебышева [очевидно, что

Анализ этих полиномов и трехчленное соотношение показывают, что полином имеет коэффициент при старшем члене, равный и что полиномы являются попеременно нечетными и четными функциями от х. Анализ показывает также, что поскольку то и для всех

Упражнения

(см. скан)