Рис. 12.2.1.
Косинусы являются ортогональными функциями (на непрерывном интервале и дискретном множестве точек), следовательно, непрерывные полиномы Чебышева также являются ортогональными с некоторой весовой функцией на интервале
Доказательство этого начнем с применения условий ортогональности из разд. 4.4 (как следует из разд. 10.2, для них существуют также дискретные варианты)
Заменяя переменную с
на х и используя
получим
Из этого соотношения видно, что полиномы Чебышева ортогональны на интервале
с весовой функцией
Для дискретного множества точек роль весовой функции, обеспечивающей получение ортогональности при суммировании по точкам дискретизации, выполняет неравномерное распределение точек дискретизации.
Из тригонометрического равенства
при замене переменной
на х, получаем трехчленное рекуррентное соотношение
Теперь ясно, как образовать несколько первых полиномов Чебышева [очевидно, что