9.7. Частный случай дифференцирования

Пример в этом разделе взят из ядерной физики и приводится для того, чтобы дать представление о реальных задачах расчета фильтров. Исходные данные получаются путем подсчета ядериых событий, классифицированных в соответствии с энергией частиц, и представляются в виде таблицы, показывающей, сколько частиц имеют энергию в каждом из энергетических интервалов (равномерно расположенных). Сразу же видно, что такие данные должны быть «зашумлены», поскольку от эксперимента к эксперименту получаются довольно разные количества событий в различных интервалах. К тому же можно ожидать, что хотя эксперимент и проводится практически достаточно долго, но все же не настолько, как бы это хотелось. Кроме того, на практике используются квадратные корни из подсчетов, потому что для них будет равная дисперсия в разных интервалах. Но не будем смущать читателя всеми этими подробностями.

Если в добавление к этому основному шуму изучаемого процесса еще принимается, что наиболее физически значимой величиной является производная от чисел ядерных частиц, то все это будет означать наличие весьма зашумленной ситуации, требующей осторожности при обработке данных.

Для того, чтобы определить, где и как можно разделить сигнал и шум, были приняты два этапа. Во-первых, был вычислен спектр необработанных данных (см. разд. 10.7). Показано, что этот спектр был существенно плоским после первых примерно 5% частотного интервала. Во-вторых, была получена теоретическая

форма данных и снова проанализирована с помощью программы спектрального анализа. Она также показала примерно ту же граничную точку между сообщением и шумом. Почему мы чувствуем, что плоский спектр включает в себя шум? Просто потому, что если шумовой спектр спадает несколько медленнее, чем наложение, возникающее из-за ограниченности интервала (свертывание спектра назад и вперед), то обычно это приводит к равномерности на протяжении всего спектра, в то время как сообщение в соответственно рассчитанном эксперименте не будет иметь наложения.

Дифференцирующий фильтр поэтому был рассчитан так, чтобы он имел линейный рост примерно от до в частотной области и имел нуль на остальных частотах. Разложение Фурье, естественно, было по синусам с дополнительным множителем [который необходим, поскольку производная от имеет множитель ]. Это разложение, изменяющееся в зависимости расположения конца интервала (таким образом можно уточнять эту точку среза) служит затем основой для расчета. Для расчета окончательного фильтра было применено окно Кайзера.

Отсчеты ядериых событий группировались по равновеликим интервалам и в каждом из них регистрировалось общее количество. Эта процедура не эквивалентна записи отсчетов функции. Число отсчетов в интервале можно представить себе, вообразив, что через окно Ланцоша свертывается исходная функция и из результата берутся отсчеты. Следовательно, группирование данных эквивалентно предварительному прохождению окна Ланцоша, и это должно быть учтено при окончательной интерпретации.

Как установлено физиками, результаты получились удовлетворительными (конечно, были бы желательны лучшие данные, но расчет фильтра недовольства не вызывал). Имеется некоторый риск, что при выборе частоты среза по одному набору данных не будет обеспечена необходимая точность, однако при применении ее к нескольким наборам данных, полученным при различных условиях, было понято влияние перемещения частоты среза.

Этот пример поясняет следующее. Во-первых, данные не обязательно должны быть временным рядом, они могут быть рядом равномерно распределенных данных с некоторой другой переменной. Во-вторых, используя предыдущие методы расчета фильтра, шум почти всегда может быть успешно исключен из интервала, где он не превосходит сигнал. Следовательно, фильтры применимы не только к временному ряду, но также и к другим формам равномерно распределенных данных.