4.5. Ряд Фурье и метод наименьших квадратов

Разложение в ряд Фурье тесно связано с аппроксимацией функции по методу наименьших квадратов. Действительно, покажем, что коэффициенты Фурье дают приближение функции по наименьшим квадратам. Чтобы это сделать, составим обычную «сумму квадратов разностей» в качестве меры приближения где

и

Отметим применение для обозначений строчных и прописных букв, причем — произвольные коэффициенты, которые необходимо выбрать при приближении. Таким образом,

есть необходимая сумма квадратов. Формальные коэффициенты Фурье (обозначаются строчными буквами) даются обычными формулами

Почленное вычитание двух разложений (соответствующих пар членов), возведение в квадрат и использование ортогональности системы функций дают

В этих суммах для берутся нулевыми. Поскольку необходимо получить приближение по наименьшим квадратам, то ясно, что будет минимальной в том и только в том случае, если для всех меньших или равных

Следовательно, мы доказали, что для конечного формальное разложение Фурье есть приближение по наименьшим квадратам.

Если имеет место равенство

то оно называется равенством Парсеваля.

Неравенство, которое выполняется для конечного

называется неравенством Бесселя. Неравенство Бесселя очень полезно при оценке ошибки приближения, когда количество вычисляемых коэффициентов постепенно увеличивается. При изменении расположения слагаемых из этого выражения следует, что сумма квадратов ошибок приближения (аппроксимации) есть разность между интегралом от квадрата функции, (с коэффициентом и суммой квадратов коэффициентов, которые вычисляются (не забывайте учитывать

Из неравенства, Бесселя ясно, что ряд

ограничен сверху и, следовательно, сходится при условии интегрируемости функций Таким образом, коэффициенты Фурье

когда Как следствие этого результата (котороё нам потребуется позднее), применив формулу сложения для синусов и переходя к пределу, получим

когда стремится к бесконечности.

Упражнения

(см. скан)