2.6. Собственные функции равномерной дискретизации

Цель этого раздела состоит в том, чтобы показать, что собственные функции процесса получения равноотстоящих отсчетов от какой-либо функции представляют собой обычные синусы и косинусы из тригонометрии. Они являются собственными функциями в том смысле, что когда мы а) берем синусоиду некоторой частоты (предполагая ее как высокую частоту), затем б) осуществляем процесс взятия отсчетов данной синусоиды в равноотстоящих точках и в заключение в) задаем себе вопрос: «Какую эквивалентную синусоиду низкой частоты мы имеем?», то находим, что она эквивалентна единственной синусоидальной функции. Проще говоря, синусоида любой примечательной частоты (в смысле наличия одинаковых значений синусоид в точках отсчетов), благодаря наложению, преобразуется в одну-единственную низкочастотную функцию.

Сопоставим этот результат с тем, что происходит, когда применяется классический полиномиальный метод аппроксимации. При аппроксимации полиномами, используя точки отсчетов приходим непосредственно к рассмотрению выборочного полинома, определяемого как

Эта функция исчезает во всех точках отсчетов и поэтому представляет функцию, которую мы не можем «видеть». Теперь, придавая любую степень х, скажем поделим это выражение на для того, чтобы получить частное и остаток

где имеет степень меньше, чем Простое обобщение обычной теоремы об остатках показывает, что в точках отсчетов две функции имеют абсолютно одинаковые значения. Поэтому происходит наложение исходной единственной степенной функции от х на полином который представляет собой, конечно, линейную комбинацию а не одну степенную функцию. В этом смысле степенные функции от х не являются собственными функциями для процесса дискретизации при любом расположении отсчетов. Следовательно, наложение для полиномов — это беспорядочный процесс.

Давайте еще раз сформулируем этот результат.

Если процесс заключается в: а) выборе основной функции (степенной функции от х, скажем выборке отсчетов в точках и, наконец, в) образовании из отсчетов новой функции минимальной степени от х, то в общем случае можно заметить, что эта одиночная степенная функция от х не переходит в степень от х. С другой стороны, для синусоид процесс равномерной дискретизации с последующим образованием функции минимальной частоты дает в результате одну синусоиду. Следовательно, в этом смысле синусоиды являются собственной функцией процесса равномерной дискретизации, а обоснование этого положения еще раз показывает центральную роль, которую играет наложение в этом процессе.