1.7. Усиление шума в фильтре
Предположим, что проведены некоторые измерения. Пусть 
есть «истинное» измерение с добавленным к нему шумом 
ожидаемое значение которого 
Поэтому мы регистрируем 
Кроме того, пусть этот шум 
имеет дисперсию 
Каким будет соответствующий шум на выходе нерекурсивного фильтра (если предполагать, что выполняемая арифметика не увеличивает шум)? Допустим также, что для фактических измерений, 
ошибки 
некоррелированы, т. е. мы предполагаем, что
Условие нулевого среднего значения 
подразумевает, что в измерениях отсутствует смещение. В обоих случаях усреднение выполняется по ансамблю шума 
Нерекурсивный фильтр определяется формулой к
Поскольку операция Е применяется только к 
, а не к 
или 
то ожидаемое значение равно
Для вычисления дисперсии начнем с операции
Но это та же операция, что и
Так как 
и для 
, то после умножения и применения оператора 
остаются только члены
Таким образом, сумма квадратов коэффициентов фильтра определяет усиление шума в процессе фильтрации. По этой причине сумма квадратов коэффициентов нерекурсивного фильтра играет важную роль в теории.
Упражнения
(см. скан)
