8.5. Некоторые пары преобразований

Важность взаимосвязи между двумя функциями делает полезным создание таблиц преобразований. Такие таблицы широко применяются. Для наших ближайших целей будут необходимы только несколько примеров таких взаимосвязей, которые мы выведем. Более обширное развитие идей по интегралу Фурье предоставим книгам, специализирующимся по этому вопросу.

Наш первый пример преобразования Фурье относится к функции с ограниченной полосой и единичной площадью (рис. 8.5.1, а)

Вычислим интеграл для и так же, как в разд. 8.3, получим

Эта функция хорошо известна в теории и характер ее поведения в начале координат можно получить путем разложения в степенной ряд

На рис. 8.5.1, б приведен график этой функции. Основной лепесток располагается от до за его пределами функция колеблется с постоянной частотой, в то время как амплитуда постепенно затухает подобна

Рис. 8.5.1.

Чем больше тем уже основной пик и остальные лепестки.

Наш второй пример преобразования Фурье фактически относится к взаимосвязи между преобразованиями Фурье. Допустим, что уже известна пара преобразований Фурье т. е. известно

Теперь можно задать вопрос: «Какая функция соответствует Из определения следует, что

Очевидно, играет роль в первоначальной функции, так что

Эффект экспоненциального множителя соответствует сдвигу аргумента преобразуемой функции. Этот результат часто называют теоремой сдвига.

Упражнения

(см. скан)