Глава 8. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ
8.1. Введение
Ряд Фурье полезен при обращении с периодическими функциями и функциями с ограниченным интервалом изменения независимых переменных (поскольку этот ограниченный интервал может быть расширен на всю ось путем периодического продолжения функции). Однако периодические функции сравнительно редки на практике и для рассмотрения большинства применений цифрового фильтра необходим более общий класс функций. Эта ситуация, в свою очередь, требует создания более общего математического аппарата для обращения с непериодическими функциями, а именно, интеграла Фурье. Простым примером непериодической функции, компоненты которой являются периодическими, может служить
Поскольку 1 и 
несоизмеримы, то функция никоим образом не может точно повторить себя сколько бы мы ни продолжали переменную 
Формальное определение интеграла Фурье для представления 
есть
Очевидно, что в интеграле Фурье содержится несчетное количество частот и единственная из них соответствует каждому действительному числу 
На практике обычно имеют дело с частотами в некотором диапазоне, так как (см. гл. 2) в процессе дискретизации с равноотстоящими отсчетами возникает эффект, который можно рассматривать как наложение каждой частоты вне интервала Найквиста на частоту, лежащую внутри этого интервала. Такие функции называются ограниченными по полосе, потому что для практических целей все их частоты лежат внутри полосы, при которой имеются, как правило, по крайней мере, два отсчета на самой высокой частоте. Физические примеры непрерывных функций, которые являются почти ограниченными по полосе, банальны. Например, типовая высококачественная звуковоспроизводящая система имеет частоту среза на нижнем конце диапазона от нескольких десятков до, возможно, сотен герц, а на верхнем конце частота среза может быть до 20 000 Гц.
Единственная цель этой главы состоит в том, чтобы проложить математический мост между исходной непрерывной функцией, которую мы обычно имеем в виду, и дискретизированной функцией, с которой должны иметь дело, когда используем цифровой фильтр. Необходимо также знать, как осуществляется переход от дискретизированной функции с ограниченной полосой обратно к исходной непрерывной функции и как интерполируется функция между заданными равномерно распределенными отсчетами. По этим причинам нам нужно вспомнить известную, теорему отсчетов.
И, наконец, в этой главе будет исследован эффект от вырезания конечного куска непрерывной функции из функции, которая потенциально имеет неограниченную длину, и будут рассмотрены различные пути использования окон для уменьшения этого эффекта.
