Глава 12. ЧЕБЫШЕВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ФИЛЬТРЫ ЧЕБЫШЕВА
12.1. Введение
Задача определения степени близости рассчитанного фильтра к исходному идеальному фильтру, с которого начинался расчет, возникает постоянно. Для измерения этой близости ранее был использован метод наименьших квадратов, который модифицировался в случае применения окна.
В этой главе мы введем другой критерий близости — критерий Чебышева, который в качестве меры расстояния между двумя кривыми использует максимальное расстояние между ними.
Критерий Чебышева популярен не только в теории фильтров, где желательно оценить несовершенство расчета, но также и во многих вычислительных задачах, где, например, мы хотим зиать, что некоторая библиотечная программа дает ответы «по меньшей мере также хорошо, как...». При приближении по Чебышеву параметры подбираются таким образом, чтобы сделать максимальную ошибку как можно меньше, т. е. минимизируется максимальная ошибка и поэтому этот процесс часто называют минимаксной стратегией приближения.
Однако сумма квадратов ошибок при приближении по Чебышеву будет больше, чем для соответствующего приближения по методу наименьших квадратов, а приближение по наименьшим квадратам имеет большую максимальную ошибку, чем она получается
при приближении по Чебышеву. Поэтому при расчете фильтров предпочтение отдается приближению по Чебышеву. Почти всегда применение критерия Чебышева меньше искажает уже достигнутое приближение по методу наименьших квадратов, чем применение критерия наименьших квадратов искажает приближение, по Чебышеву.
В аппроксимации по Чебышеву обычно имеется кривая ошибок, которая колеблется и имеет равновеликие пульсации. Причина этого интуитивно понятна. Предположим, что имеется некоторое приближение для данных и что наблюдается кривая ошибок. Если попытаться уменьшить наибольший пик на кривой ошибок, изменяя коэффициенты фильтра, то в другом месте, естественно, ошибка немного увеличится. Если на каком-либо этане попытаться уменьшить сразу все худшие экстремальные значения, то, вероятно, это будет удаваться только до тех пор, пока не появятся экстремумы максимальной величины в большем количестве, чем число подгоняемых параметров. Поэтому приближение по Чебышеву часто называют равноволновым приближением.
Расчет чебышевских фильтров начнем с рассмотрения полиномов Чебышева, которые обладают равноволновым свойством и, следовательно, тесно связаны с процессом равноволнового приближения. В заключение будет приведен расчет по Чебышеву для простого интегратора.
