Глава 5. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ РЯДА ФУРЬЕ

5.1. Введение

Нам необходимо рассмотреть только некоторые результаты из теории рядов Фурье. Одним из них является известное явление Гиббса. В гл. 4 показано, что для функций, имеющих смысл, формальный ряд Фурье в точке непрерывности сходится к функции и в точке разрыва — к среднему двух граничных значений. Однако каждый член ряда Фурье представляет собой непрерывную функцию и, следовательно, теорема «равномерно сходящийся ряд непрерывных функций сходится к непрерывной функции» означает, сто в точке разрыва сходимость ряда Фурье не может быть равномерной, а должна носить особый характер. Это проявляется в явлении Гиббса. Для тех, кто не знаком с понятием равномерной сходимости, этот вопрос кратко излагается в приложении П.5.

Кроме того, мы рассмотрим комплексную форму ряда Фурье, которая менее тесио связана с непосредственно измеряемыми величинами в реальных задачах, но зато является более подходящей для математических преобразований. Эта форма позволит глубже понять теорию и выявить сущность физических явлений.

Еще одно также необходимое понятие — это так называемые теоремы свертки. Такие теоремы, хотя ими часто пренебрегают при общем рассмотрении рядов Фурье, являются существенными для теории фильтров.