8.2. Краткое изложение результатов
В этом разделе кратко излагается содержание настоящей главы, и в нем мы не пытаемся строго доказывать результаты, поскольку строгие доказательства уведи бы глубоко в математические подробности и затемнили бы суть дела.
Сначала покажем, что для любой приемлемой функции 
имеется представление в форме интеграла Фурье
где
Эти формулы иногда называют формулами преобразования Фурье. По аналогии с рядом Фурье, из которого мы получили интеграл Фурье, здесь фигурирует функция плотности 
тесно связанная с 
в комплексной
форме ряда Фурье (разд. 5.4). Плотность 
умноженная на интервал 
дает величину в измеряемых единицах. Функция 
называется преобразованием от 
Мы будем обычно употреблять малые буквы во временной области и соответствующие им большие буквы в частотной области. Как можно заметить, различие 
-обозначении, но не в 
двух уравнений состоит только в том, что одно имеет 
вместо 
Наложение играет фундаментальную роль в процессе дискретизации. Прежнее обсуждение наложения в связи с рядом Фурье (разд. 2.2) никоим образом не зависело от дискретного характера наблюдаемых в этом ряде частот, и поэтому все сказанное относится также и к непрерывному диапазону частот, используемому в интеграле Фурье. Если частоты ограничены в симметричной полосе шириной 
относительно начала отсчета, 
дискретизация осуществляется с интервалом 
между отсчетами, то имеем важное соотношение 
как необходимое условие для исключения наложения (необходимо именно неравенство, чтобы исключить теоретически неудобные конечные частоты, с которыми тем не менее легко справиться на практике). Максимальный интервал дискретизации 
связан с частотой свертывания или частотой Найквиста. Обычный путь толкования этого соотношения, как и прежде, состоит в утверждении, что необходимо иметь для исключения наложения, по крайней мере, два отсчета на самой высокой имеющейся частоте.
Упражнения
(см. скан)
