3.3. Приближение параболами второй и четвертой степени по методу наименьших квадратов

Вместо сглаживания путем приближения прямой линией возможно производить приближение квадратной параболой (или кубической, что эквивалентно). Для квадратной параболы

и минимизируется сумма квадратов разностей

Дифференцируя по подбираемым переменным, а именно,

А, В и С, получаем нормальные уравнения

где означает «сумму значений аргумента, заключенного в скобки». При выборе специального ряда равноотстоящих точек данных все суммы по нечетным степеням равны нулю. Решая уравнения для А, величину которого необходимо только знать, имеем

Перепишем это уравнение для случая 5 точек

Здесь сглаженная величина представляет собой взвешенное среднее из пяти входных значений. Для общего случая любой текущей точки имеем

Чтобы проанализировать эти формулы, сделаем подстановку При этом формула примет вид

и, конечно, будет опять являться известной нам Графики передаточных функций по этой формуле показаны на рис. 3.3.1 для 5, 7, 9 и 11 точек. Коэффициенты имеют значения соответственно:

Напомним, что в передаточной функции нецентральные коэффициенты должны быть попарно равны для того, чтобы получить соответствующие коэффициенты косинусов. Независимая переменная на рис. 3.3.1 снова дана в виде циклической частоты

Рис. 3.3.1. Передаточная функция для сглаживания квадратичной параболой по методу наменьших квадратов

Кривые описывают передаточную функцию, полученную при сглаживании квадратичной параболой по методу наименьших квадратов и напоминают кривые для сглаживания прямой линией, отличаясь лишь более высоким порядком касания в точке . В обоих случаях применение большего числа членов в формуле сглаживания приводит к тому, что кривые спадают белее быстро, а величина последующих колебаний слегка уменьшается.

Продолжая рассмотрение аналогичным образом, перейдем к следующему случаю сглаживания параболой четвертой степени по методу наименьших квадратов (парабола пятой степёни дает те же результаты).

Зададимся параболой четвертой степени в форме

Затем, используя точки данных (которые временно фиксируют систему координат и делают обозначения значительно проще), получим разности между исходными данными и вычисленными значениями, возведем их в квадрат и просуммируем по всем данным. Следующий шаг состоит том, чтобы найти минимум этой функции от переменных

Рис. 3.3.2. Передаточная функция для сглаживания параболой четвертой степени по методу наименьших квадратов

Как обычно, минимизация функции осуществляется дифференцированием по каждой из переменных и затем приравниванием нулю соответствующих производных. В результате получаются нормальные уравнения. Из этих уравнений необходимы только первое, третье и пятое, поскольку нам нужна только величина А. Для точек или, что то же самое, для 7, 9, 11, 13 точек, получим значение А, которое будет линейной комбинацией исходных данных . Формулы сглаживания имеют следующие коэффициенты

Как обычно, предполагаем в качестве входной функции и получаем передаточную функцию Для этих случаев они показаны на рис. 3.3.2 где опять использована при построении графиков циклическая частота

И снова эффект от полинома более высокой степени проявляется в виде более высокого порядка касания в точке Кроме того, использование дополнительных членов в формуле сглаживания приводит к более быстрому спаду кривой.

Более высокий порядок касания в точке представляет, таким образом, главный результат.

Теорема.

Чем больше степень используемая для приближения во временной области, тем более высокий порядок касания будет при частотной области.

Для доказательства этой теоремы предположим, что формула сглаживания имеет вид

Допустим также, что коэффициенты Си уже определены так, чтобы сделать формулу справедливой для но не для Это означает, что уравнения (если принять ) будут иметь вид

Теперь рассмотрим передаточную функцию в форме

Поскольку уравнение во временной области выполняется для то из этого следует, что предыдущее

равенство верно для , следовательно, Дифференцируя по , а затем положив получим уравнение

Отсюда следует, что Повторяя дифференцирование и принимая можно показать, что все последующие производные, вплоть до равны нулю. Однако в производной взаимного уничтожения членов не происходит и поэтому соответствующая производная от уже не будет равна нулю. Следовательно, теорема доказана.

Упражнения

3.3.1. Сделать подробный вывод формулы для передаточной функции при приближении параболой четвертой степени в 5 точках по методу наименьших квадратов. Ответ дать в форме косинусов.

3.3.2. Вывести формулу для передаточной функции при приближении параболой четвертой степени в 7 точках. Ответ дать в форме косинусов.