Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.3. Приближение параболами второй и четвертой степени по методу наименьших квадратовВместо сглаживания путем приближения прямой линией возможно производить приближение квадратной параболой (или кубической, что эквивалентно). Для квадратной параболы
и минимизируется сумма квадратов разностей
Дифференцируя по подбираемым переменным, а именно, А, В и С, получаем нормальные уравнения
где
Перепишем это уравнение для случая 5 точек
Здесь сглаженная величина представляет собой взвешенное среднее из пяти входных значений. Для общего случая любой текущей точки
Чтобы проанализировать эти формулы, сделаем подстановку
и, конечно, будет опять являться известной нам
Напомним, что в передаточной функции нецентральные коэффициенты должны быть попарно равны для того, чтобы получить соответствующие коэффициенты косинусов. Независимая переменная на рис. 3.3.1 снова дана в виде циклической частоты
Рис. 3.3.1. Передаточная функция для сглаживания квадратичной параболой по методу наменьших квадратов Кривые Продолжая рассмотрение аналогичным образом, перейдем к следующему случаю сглаживания параболой четвертой степени по методу наименьших квадратов (парабола пятой степёни дает те же результаты). Зададимся параболой четвертой степени в форме
Затем, используя точки данных
Рис. 3.3.2. Передаточная функция для сглаживания параболой четвертой степени по методу наименьших квадратов Как обычно, минимизация функции осуществляется дифференцированием по каждой из переменных и затем приравниванием нулю соответствующих производных. В результате получаются нормальные уравнения. Из этих уравнений необходимы только первое, третье и пятое, поскольку нам нужна только величина А. Для
Как обычно, предполагаем в качестве входной функции И снова эффект от полинома более высокой степени проявляется в виде более высокого порядка касания в точке Более высокий порядок касания в точке Теорема. Чем больше степень Для доказательства этой теоремы предположим, что формула сглаживания имеет вид
Допустим также, что коэффициенты Си уже определены так, чтобы сделать формулу справедливой для
Теперь рассмотрим передаточную функцию в форме
Поскольку уравнение во временной области выполняется для равенство верно для
Отсюда следует, что Упражнения3.3.1. Сделать подробный вывод формулы для передаточной функции при приближении параболой четвертой степени в 5 точках по методу наименьших квадратов. Ответ дать в форме косинусов. 3.3.2. Вывести формулу для передаточной функции при приближении параболой четвертой степени в 7 точках. Ответ дать в форме косинусов.
|
1 |
Оглавление
|