5.2. Явление Гиббса

Цель этого раздела состоит в том, чтобы ознакомиться с явлением Гиббса, названным так в честь Дж. Вилларда

Гиббса (он первый сообщил об этом эффекте, не был первым, кто его опубликовал). Второй пример из разд. 4.3 содержал разложение прямоугольной импульсной функции, представляющей типичную разрывную функцию. Эта функция определяется как

и имеет скачок, равный 1 в точке разрыва Формальное разложение Фурье было найдено в виде

Усеченный ряд для частичной суммы можно записать в виде

Чтобы получить сумму косинусов умножим ее, как и прежде, на синус угла, равного полуразности углов соседних членов. Результат будет равен (ср. с разд. 4.7):

Таким образом, мы имеем частичные суммы в виде интеграла

Рис. 5.2.1 иллюстрирует поведение частичной суммы как функции для случая пяти членов и независимой переменной Мы видим колебания кривой частичных сумм. Чтобы найти, где находятся вершины и впадины, продифференцируем функцию и результат приравняем нулю. Эта процедура аналогична

приравниванию нулю подынтегрального выражения. Ясно, что первый максимум имеет место при Значение частичной суммы в этой точке

Наша задача состоит в оценке этого значения, когда стремится к бесконечности.

Рис. 5.2.1. Явление Гиббса с окнами: простым, Ланцоша и Чезаро

Замена произвольной переменной интегрирования и введение особых -членов дают

Очевидно, что поскольку когда выражение во вторых квадратных скобках стремится к 1 при увеличении IV. Поэтому в пределе имеем значение для первого выброса

Это стандартная функция интегрального синуса. Из таблиц получаем значение для первого максимума

Следующий локальный минимум имеет соответствующее предельное значение Эти значения показывают (когда N велико), что при единичном скачке (разрыве) функции выбросы составляют примерно 9% вверх и 5% вниз.

Это явление Гиббса возникает каждый раз, когда усекается ряд Фурье. Особую важность оно будет иметь при рассмотрении расчета фильтров, поскольку для практических целей приходится ограничивать любой формируемый ряд Фурье.