2.4. Инвариантность при сдвиге

Во многих задачах обработки данных не существует естественного начала отсчета и поэтому в качестве начала выбирается произвольная точка (для сигналов, зависящих от времени, обычно это произвольный момент, для которого устанавливается Из формул сложения в тригонометрии

нетрудно увидеть, что при

переходит в

где

Возводя в квадрат каждое из этих выражений и суммируя их, получаем

Таким образом, видно, что при операции сдвига функции являются собственными, так как при выполнении операции сдвига на величину они возникают снова. Равенства Эйлера

где приводят к соответствующим формулам:

При таком обозначении две формулы сложения из тригонометрии совмещаются в одной более простой формуле

Этот факт становится очевидным, если использовать равенства Эйлера и приравнять действительные и мнимые части с обеих сторон. Следовательно, комплексная экспонента представляет собой собственную функцию сдвига. Комплексные экспоненты гораздо удобнее для применения, чем действительные синусы и косинусы.

Мы выбрали математическое обозначение а не техническое Этот выбор произволен, но поскольку книга рассчитана главным образом не на инженеров, то разумнее выбрать

Возникает вопрос, являются ли синусы и косинусы уникальными функциями, обладающими свойствами

инвариантности при сдвиге. Свойство инвариантности, которое мы хотим иметь, состоит в том, что обе функции при сдвиге на постоянную величину, скажем , могут быть записаны как линейная комбинация синусов и косинусов или, в более общем виде в том, что любая линейная комбинация синусов и косинусов заданной частоты при выполнении произвольного сдвига по координатной оси на величину может быть снова записана как та же линейная комбинация. Далее предположим, что эти функции соответственно нечетная и четная и что тригонометрические функции синус и косинус достаточно гладкие. При этих предположениях можно показать, что синусы и косинусы являются уникальными функциями (за исключением соответствующих гиперболических функций, которые тоже допустимы). Отметим, что на языке комплексных экспонент свойство собственных функций выражается значительно проще, чем в тригонометрических обозначениях

где — собственное значение не зависящее от переменной