2.4. Инвариантность при сдвиге
Во многих задачах обработки данных не существует естественного начала отсчета и поэтому в качестве начала выбирается произвольная точка (для сигналов, зависящих от времени, обычно это произвольный момент, для которого устанавливается
Из формул сложения в тригонометрии
нетрудно увидеть, что при
переходит в
где
Возводя в квадрат каждое из этих выражений и суммируя их, получаем
Таким образом, видно, что при операции сдвига функции
являются собственными, так как при выполнении операции сдвига на величину
они возникают снова. Равенства Эйлера
где
приводят к соответствующим формулам:
При таком обозначении две формулы сложения из тригонометрии совмещаются в одной более простой формуле
Этот факт становится очевидным, если использовать равенства Эйлера и приравнять действительные и мнимые части с обеих сторон. Следовательно, комплексная экспонента представляет собой собственную функцию сдвига. Комплексные экспоненты гораздо удобнее для применения, чем действительные синусы и косинусы.
Мы выбрали математическое обозначение
а не техническое
Этот выбор произволен, но поскольку книга рассчитана главным образом не на инженеров, то разумнее выбрать
Возникает вопрос, являются ли синусы и косинусы уникальными функциями, обладающими свойствами
инвариантности при сдвиге. Свойство инвариантности, которое мы хотим иметь, состоит в том, что обе функции при сдвиге на постоянную величину, скажем
, могут быть записаны как линейная комбинация синусов и косинусов или, в более общем виде в том, что любая линейная комбинация синусов и косинусов заданной частоты при выполнении произвольного сдвига по координатной оси на величину
может быть снова записана как та же линейная комбинация. Далее предположим, что эти функции соответственно нечетная и четная и что тригонометрические функции синус и косинус достаточно гладкие. При этих предположениях можно показать, что синусы и косинусы являются уникальными функциями (за исключением соответствующих гиперболических функций, которые тоже допустимы). Отметим, что на языке комплексных экспонент свойство собственных функций выражается значительно проще, чем в тригонометрических обозначениях
где
— собственное значение
не зависящее от переменной