11.3. Устойчивость и z-преобразование

Перед тем как углубиться в задачу расчета, рассмотрим, какие проблемы возникнут, если отказаться от замены исходной задачи согласования на задачу согласования произведения

Эта замена удваивает степень рациональной функции и, в частности, удваивает число нулей в знаменателе. Как всегда при вычислениях, когда используются старые значения, необходимо рассмотреть устойчивость (стабильность) цифрового фильтра. Под «устойчивостью» обычно понимается то, что ограниченная последовательность входных значений производит на выходе также ограниченную последовательность, хотя не обязательно с таким же ограничением. В действительности, мы допускаем лишь возрастание полинома до выходного значения. Короче говоря, необходимо вернуться к исходному разностному уравнению и посмотреть, какие ограничения должны быть на него наложены для того, чтобы достигнуть устойчивости. Когда это будет

известно, мы будем иметь представление о том, как перейти от новой проблемы обратно к исходной задаче.

Запишем разностное уравнение в форме

Здесь — заданные данные и поэтому последняя сумма может рассматриваться как известная функция от га-Таким образом, мы пришли к исследованию простого линейного разностного уравнения для с вынуждающей функцией (вторая сумма). Коэффициенты разностного уравнения являются константами, а его теория имеет много общего с теорией линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В теории дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами предполагается решение в виде Подставляя это решение в дифференциальное уравнение, сразу же приходят к характеристическому уравнению

Для соответствующей ситуации в линейных разностных уравнениях предполагается решение нашего разностного уравнения в форме рт. Непосредственная подстановка приводит к соответствующему характеристическому уравнению

В общем случае этот полином степени от будет иметь различных нулей, и для каждого из них будет член в общем решении однородного уравнения в форме

К линейной комбинации этих решений однородного уравнения добавим любое одно частное решение полного уравнения (включая вынуждающий член) и получим полное решение исходного неоднородного линейного разностного уравнения. Для кратного корня кратности используются функции чтобы получить соответствующие линейно независимых решений.

Начальные условия определяют коэффициенты частных решений однородного уравнения и, в принципе, они могут привести к потере одного или больше решений. При фактических вычислениях из-за ошибок округления, если нетдругих причин, все эти решения рано или поздно появляются. Если же мы хотим получить устойчивое решение (см. выше), то необходимо потребовать, чтобы ни один из нулей характеристического уравнения по величине не был больше 1. Если бы имелось одно или больше таких решений, то ясно, что общее решение, в конечном счете, стало бы расти по величине экспоненциально и такой фильтр был бы неустойчивым. Мало вероятно, хотя и возможно, что такой фильтр может быть полезен при обработке длительного массива данных (он может быть полезен на небольшом отрезке), и поэтому, чтобы фильтр был устойчивым, необходимо ввести ограничение при расчете: корни характеристического уравнения должны иметь величину, меньшую 1 или, по крайней мере, равную 1 в различных особых случаях. Принятие 1 в качестве корня ставит фильтр на границу устойчивости как, например, при интегрировании по формуле трапеций или по формуле Симпсона. Если же имеется кратный корень со значением 1, то будет наблюдаться полиномиальный рост в устойчивом решении.

Только что было использовано обозначение — обычное обозначение в теории разностных уравнений, но в теории рекурсивных фильтров используется где

Поскольку не обязательно должно находиться на единичной окружности, то переменная — не обязательно действительная.

Будем искать решение разностного уравнения в форме Тогда характеристический полином разностного уравнения для фильтра будет иметь вид полинома

а условие, что никакое решение этого полинома не будет больше 1, означает, что ни одно из решений однородного уравнения не может расти экспоненциально. Классическая теория фильтров по этому поводу требует, чтобы все нули были меньше единицы, но поскольку среди

других вопросов нас интересует численное интегрирование, то мы допустим существование нуля на границе круга. Для линейных дифференциальных уравнений второго порядка, в которых отсутствует первая производная, будем иметь двойной нуль (который приводит к решению однородного разностного уравнения, возрастающему как число шагов интегрирования).

Решение однородного уравнения часто называют «не-установившимся». Проще говоря, обычная теория требует, чтобы переходный процесс прекращался, хотя и достаточно долго, но мы допускаем, что он продолжается неограниченно этого возможно помнить начальные условия), и поэтому в некоторых случаях допускается полиномиальный рост, но по-прежнему исключается экспоненциальный рост.

Переход к переменной выражается формулами

При обозначении через условие устойчивости примет вид

Применяя это условие, необходимо помнить, что изменяется вдоль единичной окружности в комплексной плоскости от до . На окружности имеем для действительной Соответственно изменяется вдоль действительной оси от до и мы видим, что внутренняя область единичного круга на плоскости отображается в полуплоскость на плоскости Чтобы решить, будет ли это верхняя или нижняя полуплоскость, мы просто найдем, куда попадает Эта точка соответствует Поэтому внутренняя область круга переходит в верхнюю полуплоскость плоскости. Следовательно, для наших фильтров будем требовать, чтобы все полюса передаточной функции (нули знаменателя) лежали внутри или на краю, верхней полуплоскости (Некоторые учебники используют такое отображение на которое позволяет использовать правую или левую полуплоскость, какую именно — это зависит только от дополнительного множителя в преобразовании.)

Задача выбора нулей знаменателя для устойчивого фильтра возникла из-за того, что была задана передаточная функция и нужно было обеспечить, чтобы она была действительной, поэтому расчет был начат с аппроксимации

Поскольку появляется только в сочетании с то это выражение эквивалентно, как уже было показано, произведению передаточной функции на функцию, комплексно-сопряженную с ней. Когда в итоге было получено приближение для этой действительной функции, то мы столкнулись с весьма трудной задачей отбора подходящей которая была бы устойчивой (все нули в верхней полуплоскости).