12.3. Критерий Чебышева

Теорема, которая будет доказана в этом разделе и которая связывает полиномы Чебышева с минимаксным критерием, состоит в том, что из всех полиномов степени с коэффициентом 1 при старшем члене полином Чебышева, поделенный на имеет наименьший максимум в интервале есть «наименьший» полином степени начинающийся с

Доказательство проводится довольно легко. Для начала отметим, что полином Чебышева, являясь замаскированным косинусом, обладает свойством равноволновости и имеет в интервале точно экстремальное значение. Если бы существовал другой полином, скажем с меньшими экстремальными значениями, тогда разность есть полином от х степени самое большее

Рис. 12.3.1.

Теперь рассмотрим значение этого выражения для экстремальных значений полинома Чебышева. Очевидно по определению что значения этой разности будут попеременно положительными и отрицательными в последовательных экстремальных точках (рис. 12.3.1). Таким образом, будет, по крайней мере, изменений знака для разностной функции, которая является полиномом степени самое большее что

является противоречием! Следовательно, мы заключаем, что полином Чебышева, поделенный на имеет наименьшее значение на интервале по сравнению с любым полиномом той же степени и с коэффициентом 1 при старшем члене.

Это рассуждение показывает основную роль полиномов Чебышева в тех случаях, когда мы заинтересованы в минимаксном (чебышевском) критерии при выполнении полиномиального приближения. Если бы кривую ошибок можно было выразить как простой полином Чебышева, это означало бы наилучшее чебышевское приближение. Если бы можно было представить функцию в виде ряда полиномов Чебышева и ограничить этот ряд, то вызванная ошибка имела бы вид первого отброшенного члена, при условии, что ряд достаточно быстро сходится.

Тот факт, что полиномы Чебышева являются также ортогональными полиномами, означает, как уже было показано, что на интервале они дают наилучшее соответствие по наименьшим квадратам (относительно их весовой функции). То, что они также дают минимаксное приближение, может показаться противоречием. Поведение весовой функции

которая вносит наибольший вес на концах интервала, где приближение по наименьшим квадратам наихудшее, объясняет тот факт, что разложение по полиномам Чебышева может дать как наилучшее взвешенное приближение по наименьшим квадратам, так и почти наилучшее минимаксное приближение (ошибка фактически соответствует не первому отброшенному члену, а сумме всех отброшенных членов). Отметим, что разложение по полиномам Чебышева есть замаскированное косинусное разложение Фурье.