3.5. Разности и производные
Разностный оператор
представляет другой класс примеров, показывающих достоинства частотного подхода к формулам, полученным с помощью полиномов. Повторное применение оператора А ведет к
Важность этого выражения следует из теоремы, согласно которой оператор 
уничтожает полином 
степени 
от х, т. е.
Кроме того, можно показать, что разностный оператор «усиливает» небольшие ошибки [6, гл. 10 и 35]. Поэтому таблица разностей для функции, тождественно равной нулю, но содержащей одиночную ошибку (благодаря линейности мы можем принять ее равной 1), будет иметь биномиальные коэффициенты с переменными знаками в последующих столбцах разностей (табл. 3.5.1).
Таблица 3.5.1. Таблица разностей (см. скан)
Используя частотный подход, проверим теперь влияние, которое оказывает оператор 
на произвольную частоту 
Имеем
Из этого выражения следует, что 
повторных применений оператора А дает
Первые два множителя имеют абсолютную величину 1 и, следовательно, усиление на частоте заключено 
в множителе
где 
— обычный интервал Найквиста. Сразу же видно, что для нижней трети частот 
разностный оператор А уменьшает амплитуду любой частоты, в то время как в верхних двух третях интервала частот имеется усиление (рис. 3.5.1). Эта ситуация объясняет типовое использование таблицы разностей для локализации (высокочастотного) шума. Шум в этом случае подразумевается в верхних двух третях интервала Найквиста.
Рис. 3.5.1. Частотная характеристика разностного оператора 
Разности применяются также для аппроксимации производных. Например, основная формула для разностей
дает возможность аппроксимировать производную. Используя наш частотный подход, положим 
Точная производная есть 
Из приведенной формулы (при 
вычисленное значение будет
Отношение вычисленного значения к точному
Когда 
(постоянный ток), величина этого отношения, как и следовало ожидать, равна 1, но для всех других 
это отношение меньше 1. Следовательно, эта формула недооценивает значения производной для всех других частот в интервале Найквиста.
Для второй производной мы используем оценку
и получаем отношение вычисленного значения к точному в виде
которое представляет собой квадрат предыдущей зависимости, но отличается от нее еще и сжатием в 2 раза по независимой переменной.
Начинающему следует взять некоторую конкретную частоту и, выполняя операции над определенными числами, посмотреть, как эти формулы согласуются с практикой, и, в частности, отметить, как появляются нулевые оценки.
Упражнения
