4.3. Формальные разложения

Для данной функции предположим, что она допускает формальное разложение

Причина появления члена скоро станет ясной. Чтобы получить выражение для коэффициентов умножим обе части уравнения на и проинтегрируем на интервале . В результате, используя свойство ортогональности, получим

Для получения умножим обе части уравнения на и проинтегрируем в тех же пределах

Следовательно, коэффициенты предполагаемого разложения выражаются формулами

Коэффициенты называются коэффициентами Фурье в разложении

Отметим, что когда значение выходит за пределы исходного интервала функция определяемая разложением, оказывается периодической. Таким образом, имеем для всех

Пример. Для иллюстрации предположим, что и что используется интервал Поскольку подынтегральное выражение нечетное, а интервал интегрирования симметричный относительно то имеем

Для получим

Рис. 4.3.1. Частичные суммы (см. скан)

Интегрирование по частям дает

Следовательно, получаем формальное разложение

На рис. 4.3.1 показаны несколько первых частичных сумм (обозначаемых в качестве приближений к функции Отметим эффект периодичности на концах интервала —

Пример. В качестве второй иллюстрадии разложения заданной функции в формальный ряд Фурье рассмотрим «прямоугольный импульс»

Поскольку

то в разложении не будет членов с косинусами. Коэффициенты синусных членов даются выражением

Выполнив интегрирование, получим

Таким образом, имеем формальное разложение

На рис. 4.3.2 приведены графики частичных сумм (обо значенных для 1, 5 и 9 членов ряда на интервале Для кривые будут отрицательными по отношению к показанным. Рисунок иллюстрирует качество аппроксимации. Позднее мы еще вернемся к этим примерам.

Рис. 4.3.2. Частичные суммы для прямоугольного импульса

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)