3.6. Еще о сглаживании. Децибелы

В разд. 3.2 и 3.3 показано, что большинство формул сглаживания, использующих метод наименьших квадратов, сохраняют точное значение на нулевой частоте (постоянный ток), но, вообще говоря, уменьшают величину любой более высокой частоты, которая может содержаться в сглаживаемой функции. Графики на рисунках изображают передаточные функции линейного процесса сглаживания, т. е. они показывают для каждой со соответствующее собственное значение процесса в диапазону вплоть до частоты Найквиста (на которой начинается наложение).

Эта ситуация наводит на мысль о проверке и других классических формул сглаживания, чтобы посмотреть, не обладают ли они подобным свойством. Возможно, что

более известными из давно применяющихся формул сглаживания являются 15-точечная и 21-точечная формулы сглаживания Спенсера [11, с. 372]

и

Передаточные функции для этих двух формул приведены на рис. 3.6.1.

Рис. 3.6.1. Передаточная функция для формул сглаживания Спенсера

Если мы примем гипотезу о том, что они также были получены для удаления «шума», то придем к выводу, что «шум» классически идентифицируется с высокими частотами, а «сообщение» или «информация» — с низкими частотами. Эти две формулы отличаются полосой пропускания частот в процессе фильтрации (сглаживания). Как и следовало ожидать из общих представлений, чем длиннее формула, тем более узкую полосу пропускания частот она обеспечивает.

Данные формулы были выведены не только для пропускания низких частот и заграждения высоких, но также и для облегчения ручных вычислений. Поэтому они не обязательно оптимальны для существующих ЭВМ. Действительно, для многих членов и заданной «частоты среза» легко могут быть получены лучшие формулы (см. гл. 6 и 9).

Кривые, показанные на рис. 3.6.1, не являются достаточно информативными, так как значения на высоких частотах настолько малы, что невозможно решить насколько они хороши. Поэтому лучше наносить логарифмы чисел

Рис. 3.6.2. Передаточная функция для формул Спенсера

Для этой цели обычно применяют децибелы (десятые доли бела), сокращенно обозначаемые дБ и определяемые как

где в качестве контрольного значения (знаменатель отношения) мы, конечно, выбираем начальное значение на частоте, присутствующей в сигнале. Рис. 3.6.2 иллюстрирует такой вариант для формул сглаживания Спенсера. Предыдущее заключение о том, что шум является высокочастотным, а сигнал — низкочастотным, подтверждается, если рассматривать это новое изображение соответствующих передаточных функций.

Теперь ясно, что формулы сглаживания, вообще говоря, одни частоты устраняют, а другие пропускают.

В 1927 году Слуцкий и Джуль сообщили об этом эффекте [11, с. 378], а именно, о возможности повышения эффективности сглаживания, особенно при обработке данных с большим количеством шума, что было подтверждено позднее путем дальнейшего анализа. В результате такого эффекта фильтрации среди сглаживаемых данных иногда встречаются интервалы, которые сглаживаются более эффективно, чем остальные исходные данные (см. разд. 13.4).