9.2. Обзор явления Гиббса и окно Ланцоша

Рассмотрим еще раз низкочастотный фильтр и его передаточную функцию. В разд. 6.3 был найден для нее ряд Фурье

На практике этот ряд должен быть ограничен до

конечного числа членов. Такой процесс эквивалентен умножению членов ряда Фурье в комплексной форме на соответствующие члены последовательности ненулевых членов)

В разд. 5.7 было показано, что такая операция эквивалентна свертке передаточной функции с выражением (отметим, что мы изменили обозначение независимой переменной на

Таким образом, передаточная функция, представленная усеченным рядом Фурье, является сверткой идеальной передаточной функции с этим отношением двух синусов (которое имеет вид постепенно затухающей синусоиды с главным лепестком в два раза шире, чем другие интервалы между нулями)

Рис. 9.2.1. Явление Гиббса

Представим себе эту свертку и для этого будем наблюдать, как хвост функции приближается к краю полосы рассматриваемого низкочастотного фильтра на частоте (рис. 9.2.1). Мы видим, что

отношение двух синусоид интегрируется в просвете прямоугольной формы, т. е. берется интеграл от окна, умноженного на отношение синусоид. Когда свертка продвигается по интервалу, все большая и большая часть отношения синусоид входит в прямоугольный импульс и, когда в него вступает главный лепесток, происходит существенное увеличение значения интеграла. Наконец, при дальнейшем продвижении свертки благодаря первому краю полосы происходит затухание пульсаций в интеграле. Конечно, необходимо также учитывать и второй край полосы фильтра на Рисунок точно отображает явление Гиббса, которое предстает перед нами в новом свете, Если вспомнить, что и отношение синусоид, и форма исходного фильтра являются периодическими, то получим полное и точное представление о том, как появляется явление Гиббса в результате усечения исходного ряда.

Напомним, что в разд. 5.3 было рассмотрено предложение Ланцоша по уменьшению эффекта Гиббса из-за усечения ряда. Он предложил производить свертку исходной прямоугольной функции с прямоугольным окном, ширина которого подгоняется под длину пульсаций в колебаниях Гиббса. Было показано, что этот процесс эквивалентен умножению коэффициентов ряда Фурье на Сигма-факторы, которое приводит к снижению величины пульсаций примерно в десять раз.

Было также показано, что двухкратное сглаживание Ланцоша эквивалентно применению треугольного окна удвоенной ширины, которое приводит к квадрату сигма-факторов, и что вследствие этого влияние самых высоких частот становится еще меньше, но при этом одновременно становится в два раза шире переходная полоса. Нами были рассмотрены также окна фон Ганна и Хемминга.

Из этого перечисления следует, что в дальнейшем необходимо заострить внимание на выборе формы окна для применения при усечении ряда Фурье.