Глава 7. ГЛАДКИЕ НЕРЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ

7.1. Возражения против пульсаций в передаточной функции

Фильтры, рассчитанные в предыдущей главе, имели пульсации в передаточной функции, однако для некоторых целей такая ситуация нежелательна. Например, пульсации в полосе пропускания нежелательны в тех случаях, когда фильтрация каскадная, т. е. один фильтр следует за другим. Если сигнал проходит через М идентичных фильтров, тогда любой пик становится и может вызвать перегрузку (переполнение в ЭВМ с фиксированной запятой) для достаточно больших М. При обработке искаженных сигналов каскадное соединение фильтров не является необычным (например, в телефонной связи на больших расстояниях).

Помимо этого, если задача одна из тех, в которых на сигнал (информацию) накладывается большой уровень шума, то после отфильтровывания шума любые небольшие пики, оставшиеся в спектре сигнала, могут быть как от исходного сигнала, так и от пульсаций в передаточной функции, используемой в процессе фильтрации. При тщательном анализе можно бы разделить эти два случая, однако такая проблема может и не возникнуть, если использовать класс фильтров, характеристики которых изменяются гладко, без пульсаций. Под «гладким изменением» понимается, что фильтры

являются монотонными на протяжении больших Интервалов полосы частот.

Монотонный фильтр встречается, например, когда интерполируются средние точки между некоторыми равноотстоящими данными. Необходимость в этом возникает во многих случаях, в частности, в демографии, когда используются данные от разных источников, относящиеся иногда к концу года, а иногда к середине. Для того чтобы использовать данные от таких разных источников, необходимо интерполировать средние точки в одном из наборов данных, а это можно сделать с помощью монотонного интерполирующего фильтра.

Предполагая обычную полиномиальную аппроксимацию, для линейной интерполяции средней точки имеем

Если нормализовать задачу и представить себе, что интерполяция выполняется в начальной точке, тогда мы получим двухчленную формулу

которую перепишем в символической форме (1/2) [1, 1]. Проводя полиномы третьей, пятой и седьмой степени через четыре, шесть и восемь точек соответственно, приходим к следующим символическим формулам:

Соответствующие им передаточные функции показаны на рис. 7.1.1. Мы видим, что как и ожидалось, полином более высокого порядка имеет касание более высокого порядка в начальной точке и больше приближается к всепропускающему фильтру.

Если рассчитывается фильтр, подавляющий больше высокие частоты, то сделав его касательную в точке частоты свертывания такой же хорошей, как и в начале координат, получим для фильтров низкого порядка все коэффициенты положительными. Эта ситуация вытекает из следующей теоремы:

если на входе сглаживающего фильтра одна функция постоянно больше второй, то для того, чтобы на выходе ее значения также были больше, необходимо и

достатачно, чтобы все коэффициенты фильтра были положительными.

Для такого фильтра это утверждение означает, что при наличии локального пика интерполированное значение (оно представляет собой взвешенное среднее с положительными весами) должно быть меньше, чем максимальное из всех значений, следовательно, пики фильтром срезаются, а впадины заполняются.

Рис. 7.1.1. Передаточная функция для интерполяции по средним точкам (см. скан)

Пики и впадины могут быть достаточно точно Воспроизведены фильтром только в том случае, если позволить пройти через него высоким частотам, а для этого необходимо сделать возможными положительные и отрицательные коэффициенты в фильтре.

Здесь проявляется одна из многих трудностей фильтрации: невозможно иметь все, что мы хотим. Устраняя шум, мы стремимся уменьшить реакцию на изменение сигнала, стремимся выравнить выходные пики, впадины и другие внезапные изменения. Если же мы хотим сохранить мелкие детали в обрабатываемых данных, то должны одновременно сохранить и высокочастотный шум.

Упражнения

(см. скан)