3.8. Класс нерекурсивных сглаживающих фильтров

Просмотрев большое число классических сглаживающих фильтров с позиций частотного подхода, можно попытаться рассчитать сглаживающий фильтр. Сделаем это только для простого класса симметричных фильтров

Как обычно, начнем с вопроса, что произойдет с одиночной частотой при прохождении ее через сглаживающии фильтр, т. е. предположим, что , и определим выходной сигнал. После подстановки этой функции в уравнение и вынесения экспоненциального множителя, зависящего от получим передаточную функцию

Если бы симметрия не предполагалась, то мы бы имели здесь дополнительно несколько синусоидальных членов с мнимыми коэффициентами.

Рис. 3.8.1. Передаточная функция в зависимости от параметра

Как выбрать коэффициенты и с в нашем трехпараметрическом семействе фильтров? Ответ, конечно, зависит от того, что мы хотим сделать, какие частоты пропустить, а какие задержать. Допустим, как обычно, что необходимо пропустить низкие частоты и не пропустить высокие. Следовательно, нужен низкочастотный фильтр. Чтобы преобразовать низкочастотный фильтр в высокочастотный, необходимо только вычислить в качестве нового фильтра. При этом то, что подавлено в присутствует в и проходит на выход, тогда как то, что пропускалось в исключается в разности

Начнем с наложения двух произвольных условий на передаточную функцию: на низкочастотном конце диапазона потребуем что выполняется точно на постоянном токе (самая низкая частота), соответственно на верхнем конце т. е. никакая более высокая частота не проходит. Эти два условия эквивалентны паре уравнений

Из этих двух уравнений получаем

и приходим к однопараметрическому семейству фильтров (рис. 3.8.1). Эти фильтры имеют вид

или

Отметим, что — периодическая функция от и что это четная функция, но как уже указывалось, из-за дискретизации и вызванного ею наложения передаточная функция за пределами интервала Найквиста не имеет большого смысла, поскольку периодичность математического выражения отражает скорее эффект наложения, чем какие-либо аналитические свойства.

С помощью рис. 3.8.1 можно выбрать фильтр, который примерно удовлетворяет нашим требованиям. Можно также наложить еще одно условие на передаточную функцию и таким образом непосредственно определить фильтр. Применим этот второй способ для иллюстрации расчета простейших фильтров.

Для первого примера потребуем, чтобы что эквивалентно

Следовательно, искомый фильтр имеет вид

а его передаточная функция

Для второго примера расчета фильтра предположим, что необходимо отсимметрировать две половины фильтра, потребовав При этом получим

Следовательно,

и

Для третьего примера попытаемся сделать приближение в окрестности нулевой частоты так хорошо, как это только возможно. Тогда имеем два уравнения

Кроме того, можно наложить добавочное условие

или

Таким образом, имеем

при

Эти фильтры служат главным образом для иллюстрации, и это только некоторые из простейших фильтров, которые мы смогли рассчитать. Приведенные примеры, конечно, не предполагались как примеры серьезных задач проектирования.