4.2. Ортогональность

Несмотря на то, что нам нужно разложить или где — независимые переменные, удобнее изложить теорию рядов Фурье, используя независимую переменную Этот шаг может вызвать некоторую путаницу дальше, но мы постараемся отметить те места, где это может произойти. К тому же наше обозначение будет ближе к другим учебникам по рядам Фурье. Кроме того, ряды Фурье имеют много применений, помимо теории цифровых фильтров, так что нейтральное обозначение позволит читателю использовать то, что он изучит здесь, в совершенно разных областях.

Первым необходимым понятием является понятие ортогональности. Говорят, что две функции (ни одна из них не равна тождественно нулю) ортогональны с весовой функцией на интервале если

Это понятие является значительным расширением идеи ортогональных линий в -мерном пространстве.

Чтобы понять суть дела, рассмотрим два -мерных вектора

При получении суммы двух векторов, компоненты этих векторов суммируются поэлементно. Сумма есть третья сторона треугольника с и V в качестве двух других сторон. Если это прямоугольный треугольник с 0 и V в качестве катетов, то можно применить теорему Пифагора и утверждать, что

После перемножения в этом векторном соотношении и сокращения квадратных членов в обеих частях уравнения оставшаяся сумма взаимных произведений (без учета коэффициента 2) примет вид

Записанная соответствующим образом, эта сумма позволяет размерности становиться бесконечно большой и приводит к интегралу

Ядро подынтегрального выражения, приведенного выше, есть, по определению, неотрицательный весовой множитель к различным компонентам и не вызывает новых осложнений. Отметим, однако, что интеграл представляет несчетное число измерений.

Говорят, что система функций является ортогональной, если когда

Конечно, когда подынтегральное выражение неотрицательно и интеграл должен быть положительным числом. Если для всех тогда говорят, что это ортонормальное семейство функций. Ортогональная система легко преобразуется в ортонормальную простым делением функции на соответствующее Ортонормальность — удобное свойство в теоретических

исследованиях, поскольку оно исключает присутствие Однако на практике обычно этого не делают, так как в результате деления получаются неудобные числовые коэффициенты.

Вероятно, наиболее хорошо известной системой ортогональных функций является система Фурье

на интервале (или ). Для того чтобы показать, что эта система действительно ортогональна, необходимо вывести три следующих интеграла:

Для вывода первого интеграла используем тригонометрическое равенство

Интегрируя, получим для

Если подставить пределы , это выражение, очевидно, станет равным нулю. Для используем равенство

Интегрируя, получим выражение

которое при подстановке пределов даст величину , наконец, когда подынтегральное

выражение, очевидно, представляет собою константу 1, и следовательно, интеграл будет равен Аналогично, используя соответствующие тригонометрические равенства, можно подтвердить другие ортогональные взаимосвязи, Пример. Для нормализации тригонометрических функций нам необходимо поделить синусы на а постоянный член 1 на

Упражнения

(см. скан)