8.4. Интеграл Фурье
Теперь получим интеграл Фурье из ряда Фурье. Пусть дан ряд Фурье периодической функции на интервале 
(разд. 5.4). Используя комплексную форму, можно вычислить коэффициент си и получить
Для того, чтобы перейти к аппроксимации непериодических функций, допустим, что интервал все больше и больше увеличивается, т. е. устремим 
пределе функция не будет больше периодической, поскольку интервал периодичности включает всю ось.
Посмотрим, что происходит, когда 
для этого положим 
, следовательно,
Тогда наше уравнение принимает вид 
Нетрудно увидеть, что когда 
растет все больше и больше, последовательные 
в сумме приближаются все ближе одна к другой, экспоненты укладываются все плотнее и сумма приближается к интегралу. Допустимо предположить, что в пределе сумма переходит в интеграл, при условии, что функция 
ведет себя достаточно хорошо. В пределе уравнение приобретает вид
Чтобы получить интеграл Фурье в обычной форме, положим
и будем иметь
Использование циклической частоты 
а не угловой со дает удобное симметричное представление без дополнительных числовых коэффициентов. Говорят, что функция 
есть преобразование Фурье от функции 
Две функции имеют одна с другой почти точно одинаковую взаимосвязь; отличие состоит лишь в том, что в экспоненте одного интеграла имеется 
а у другого — 
Обе функции содержат одинаковую информацию в том смысле, что каждая может быть найдена из другой, но информацию они представляют в существенно разных формах. В этом заключается сила этих альтернативных форм, которые делают преобразование Фурье таким полезным для понимания процессов, происходящих во многих ситуациях.
