8.4. Интеграл Фурье

Теперь получим интеграл Фурье из ряда Фурье. Пусть дан ряд Фурье периодической функции на интервале (разд. 5.4). Используя комплексную форму, можно вычислить коэффициент си и получить

Для того, чтобы перейти к аппроксимации непериодических функций, допустим, что интервал все больше и больше увеличивается, т. е. устремим пределе функция не будет больше периодической, поскольку интервал периодичности включает всю ось.

Посмотрим, что происходит, когда для этого положим , следовательно,

Тогда наше уравнение принимает вид

Нетрудно увидеть, что когда растет все больше и больше, последовательные в сумме приближаются все ближе одна к другой, экспоненты укладываются все плотнее и сумма приближается к интегралу. Допустимо предположить, что в пределе сумма переходит в интеграл, при условии, что функция ведет себя достаточно хорошо. В пределе уравнение приобретает вид

Чтобы получить интеграл Фурье в обычной форме, положим

и будем иметь

Использование циклической частоты а не угловой со дает удобное симметричное представление без дополнительных числовых коэффициентов. Говорят, что функция есть преобразование Фурье от функции Две функции имеют одна с другой почти точно одинаковую взаимосвязь; отличие состоит лишь в том, что в экспоненте одного интеграла имеется а у другого — Обе функции содержат одинаковую информацию в том смысле, что каждая может быть найдена из другой, но информацию они представляют в существенно разных формах. В этом заключается сила этих альтернативных форм, которые делают преобразование Фурье таким полезным для понимания процессов, происходящих во многих ситуациях.