8.6. Функции с ограниченной полосой и теорема отсчетов

Учитывая важность теоремы отсчетов при вычислениях, в этом разделе будет представлено второе, несколько более строгое ее доказательство. По-прежнему мы исключаем «патологические» функции и не требуем чрезмерной строгости.

Основная идея теоремы отсчетов состоит в том, что функцию с ограниченной полосой, простирающуюся от дискретизуют, беря отсчеты в равномерно распределенных точках с таким расстоянием между ними, чтобы на цикл наивысшей имеющейся частоты приходилось, по крайней мере, два отсчета. Как уже отмечалось, требование ограниченности полосы у рассматриваемых функций соответствует во многих ситуациях естественным физическим ограничениям. Во всяком случае это ограничение тяготеет над нами, когда берутся отсчеты от функции, поскольку чрезмерно экономная дискретизация приводит к наложению более высоких частот на частоты в полосе Найквиста. Однако слово предостережения: используемая математическая модель утверждает, что если сигнал ограничен по полосе, то он не может быть ограниченным по времени и, наоборот, если он ограничен по времени, то он не может быть ограниченным по полосе. На практике никакой

сигнал не может продолжаться вечно и поэтому в математической модели он не может быть ограничен по полосе. Очевидно, что математическую модель не следует понимать уже слишком буквально, когда результаты применяют к реальному миру; она является полезной, но не обязательной.

Рис. 8.6.1.

Для вывода теоремы отсчетов предположим, что задана функция с ограниченной полосой, которая равна нулю для Первый шаг при выводе состоит в замене этой функции периодической функцией (чтобы использовать теорию ряда Фурье), которая совпадает с в этой полосе; следовательно, мы определяем функцию которая совпадает с внутри интервала и является периодической вне его, как показано на рис. 8.6.1.

Используя интеграл Фурье, получим

Поскольку ограничена по полосе и в этой полосе мы имеем то

Для поскольку она сделана периодической, получаем разложение в ряд Фурье

и

Но из уравнения для этот интеграл такой же, как

Для того чтобы «вырезать» исходную функцию из новой функции умножим на прямоугольную функцию где (см. рис. 8.5.1)

Ранее уже было показано, что преобразование от есть ограниченная по полосе функция

Таким образом, Подставим в только что полученные результаты

Следующий шаг состоит в трансформации этих результатов обратно во временную область с помощью преобразования Фурье и применения теоремы сдвига

Заменяя обозначение индекса суммирования на —к, получим теорему отсчетов

На самой частоте свертывания невозможно восстановить функцию из отсчетов, потому что для единичного интервала между отсчетами функция тождественно равна нулю во всех отсчетных точках и, следовательно, теорема отсчетов будет давать функцию, тождественно равную нулю. Таким образом, не вдаваясь в математические подробности, необходимо иметь более двух отсчетов на период для самой высокой имеющейся частоты.