параграфа и связанные с ним задачи образуют фундамент, на котором в последующем основывается большинство из получаемых результатов. Начнем с определения нормального (гауссова) случайного вектора и общей задачи Гаусса.
Определение. Ряд случайных величин 
считается совместно нормальным, если любые их линейные комбинации являются нормальными случайными величинами.
Определение. Вектор 
является нормальным случайным вектором, если его составляющие 
являются совместно нормальными случайными величинами. Другими словами, если
есть нормальная случайная величина для всех конечных 
то 
есть нормальный вектор.
Если положить
и
то из (314) следует, что характеристическая функция вектора 
равна
а при условии, что матрица 
является несингулярной, плотность вероятности вектора 
равна
Доказательство не вызывает затруднений (см., например, задачу 2.6.20).
Определение. Задача испытания гипотез называется общей гауссовой, если 
является нормальной плотностью при всех гипотезах. Задача оценки называется общей гауссовой, если 
имеет нормальную плотность при всех А.
Мы рассмотрим бинарный вариант общей гауссовой задачи испытания гипотез подробно в основном тексте. Задачи испытания и оценки для случая 
гипотез излагаются вне основного текста — в задачах к гл. 2. Основная модель для бинарной задачи обнаружения выводится весьма просто. Мы предполагаем, что пространство наблюдений является 
-мерным. Точки в этом пространстве соответствуют 
-мерному вектору (или матрице-столбцу) 
Согласно первой гипотезе 
полагаем, что 
нормальный случайный вектор, который полностью определяется своим средним вектором и ковариационной матрицей. Обозначим эти величины соответственно через
и
Введем матрицу 
обратную матрице 
где I — единичная матрица (единицы по диагонали и нули на всех прочих местах). Используя (320), (321), (322) и (318), можно записать плотность вероятности вектора 
по гипотезе 
в виде
Сформулировав аналогичный ряд определений для гипотезы 
получим плотность вероятности
Используя определение (13), нетрудно получить критерий отношения правдоподобия
Прологарифмировав, имеем
Видно, что испытание состоит в отыскании разности между двумя квадратичными формами. Результат (327) является фундаментальным для многих наших последующих построений. По этой причине рассмотрим различные случаи общей гауссовой задачи несколько подробнее. Начнем с простейшей.
не вводилось. Точно так же не вводилось никаких ограничений на вид распределения 
в задаче оценки. В классическом случае подобные ограничения не являются особенно необходимыми. Когда мы начнем рассмотрение проблемы выбора формы сигналов, то убедимся, что в основном нам приходится иметь дело с задачами, в которых плотность вероятности величины 
является гауссовской., Этот класс задач будет подробно рассмотрен в настоящем параграфе. Материал этого
