3.4.2 Спектры с ограниченной полосой

Когда спектр не является рациональным, дифференциальное уравнение, соответствующее интегральному уравнению, имеет, как правило, изменяющиеся во времени коэффициенты. Однако во многих

случаях, представляющих интерес, результирующее дифференциальное уравнение получается некоторого канонического типа, решения которого являются табличными. Примером такого спектра может служить спектр, изображенный на рис. 3.10.

Рис. 3.10. Ограниченный по полосе спектр.

В этом случае

или, переходя от радиан к герцам,

где

Соответствующая ковариационная функция имеет вид

Интересующее нас интегральное уравнение принимает вид

(Это уравнение есть ни что иное, как (46), где для упрощения обозначений сдвинут интервал.)

И на этот раз задача сводится к отысканию соответствующего дифференциального уравнения и исследованию его решения. Однако нас больше интересуют окончательные результаты, чем подробная методика решения. Поэтому мы их просто сформулируем, отослав читателя, желающего познакомиться подробнее, к [9, 15-18].

Соответствующее дифференциальное уравнение на нормированном интервале имеет вид

где

и — собственное значение. Это уравнение имеет непрерывные решения для некоторых значений Эти решения называются круговыми сферическими функциями и обозначаются как . График типичной функции можно найти в Указанные функции удовлетворяют интегральному уравнению:

или, если заменить переменные,

где радиальная сферическая функция. Таким образом, собственные значения интегрального уравнения можно записать в виде

Эти функции табулированы в ряде руководств (например, [18] и [19]).

Первые несколько собственных значений для различных значений показаны на рис. 3.11 и 3.12. Отметим один весьма интересный факт. Для значения быстро стремятся к нулю. Можно вычислить полную энергию, содержащуюся в остальных собственных значениях, так как

На рис. и сумма первых четырех собственных значений составляет На рис. и сумма первых шести собственных значений равна Эта закономерность подробно рассмотрена в [17]. Из нашего примера вытекает следующее утверждение.

Рис. 3.11. Собственные значения ограниченного по полосе спектра.

Рис. 3.12. Собственные значения ограниченного по полосе спектра.

Если процесс с ограниченным спектром Гц] наблюдается на интервале то имеется только существенных собственных значений. Этот результат будет важен для нас в последующих главах (особенно в гл. 2 и 3 тома II), когда мы получаем приближенные решения, пренебрегая собственными значениями высоких порядков. Более точные утверждения относительно решений можно найти в [15—17].