Главная > Теория обнаружения, оценок и модуляции, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

6.3.2. Вывод уравнений оценки

Получим дифференциальное уравнение, решение которого является оценкой сообщения (или сообщений) по минимуму среднеквадратической ошибки. Напомним, что оценка вектора по минимуму среднего квадрата ошибки есть вектор компоненты которого выбираются так, что среднеквадратическая ошибка при оценивании каждой

компоненты является минимальной. Иначе говоря, минимизируются величины Отсюда следует, что сумма средних квадратов ошибок также минимизируется. Этот вывод не сложен, но несколько утомителен. Он состоит из четырех частей.

1. Исходя из векторного уравнения Винера — Хопфа (свойство для реализуемой процедуры оценки, выводим дифференциальное уравнение относительно переменной в котором играет роль параметра. Этому уравнению, а именно (317), должна удовлетворять характеристика оптимального фильтра.

2. Так как оптимальная оценка получается путем пропускания принятого сигнала через оптимальный фильтр, (317) приводит к дифференциальному уравнению (320), которому должна удовлетворять оптимальная оценка. Все коэффициенты этого уравнения, за исключением оказываются известными.

3. Далее необходимо найти выражение для Свойство выражает через матрицу ошибок. Поэтому столь же успешно можно найти выражение для Для этого сначала необходимо найти дифференциальное уравнение для ошибки [см. (325)].

4. Наконец, ввиду того, что

можно использовать (326) для отыскания матричного дифференциального уравнения, которому должна удовлетворять [см. (330)]. Выполним теперь все эти пункты более подробно.

Этап 1. Начнем с интегрального уравнения, полученного для оптимального устройства точечной оценки, осуществляемой за конечное время [свойство Мы оцениваем весь вектор

где

Продифференцировав обе части будем иметь

Рассмотрим сначала первый член в правой части (310). При из (309) следует, что

Выражение в квадратных скобках есть просто левая часть (308). Следовательно,

Теперь рассмотрим первый член в левой части (310)

Используя (302), имеем

но второй член при равен нулю [см. (266)]. На основании (308) видно, что

Подстановкой (315) и (312) в (310) получим

Очевидно, если выражение в квадратных скобках будет равно нулю при всех то (316) будет удовлетворяться. Так как положительно определена, это условие является также и необходимым (см. задачу 6.3.19). Таким образом, дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет оптимальная импульсная характеристика, имеет вид

Этап 2. Оптимальную оценку получаем пропусканием входного сигнала через оптимальный фильтр. Следовательно,

В (318) предполагается, что реализуемая оценка по минимуму среднеквадратической ошибки равна нулю Поскольку принятой информации не имеется, наша оценка в момент времени основывается на априорных сведениях. Если есть случайная величина с вектором средних значений и ковариационной

матрицей то оценка по минимуму среднеквадратической ошибки равна

Если величина детерминированная, скажем то можно рассматривать ее как случайную величину, средние значения которой равны т. е.

а ковариационная матрица тождественно равна нулю, т. е.

Рис. 6.36. Структура устройства оценки с обратной связью.

В обоих случаях в (318) предполагается, что Не представляет труда получить модификации для других начальных условий (см. задачу 6.3.20). Дифференцируя (318), имеем

Подставляя (317) в правую часть (319) и используя (318), получим

Удобно ввести новое обозначение для показывающее, что она является функцией только одной переменной

Операции в (322) могут быть представлены матричной блок-схемой рис. 6.36. Мы видим, что все коэффициенты, за исключением известны, но (53) позволяет выразить через матрицу ошибок

Поэтому (320) будет полностью определено, если мы сможем найти выражение для ковариационной матрицы ошибок для оптимального реализуемого устройства точечной оценки.

Этап 3. Сначала находим дифференциальное уравнение для ошибки где

Продифференцировав, получим

Подставляя (302) вместо первого, вместо второго слагаемого в правой части (324) и используя (305), получим требуемое уравнение

Последний этап — вывести дифференциальное уравнение для

Этап 4. Продифференцировав

будем иметь

Подстановкой (325) в первое слагаемое (327) получим

Из (325) нетрудно усмотреть, что есть вектор состояния для системы, возбуждаемой взвешенной суммой двух независимых белых шумов (7). Поэтому математические ожидания во втором и третьем слагаемых являются точно такими же, как и найденные в свойстве 13 -[вторая строка (266)]:

Прибавляя результат перестановки и заменяя правой частью (322), получим дисперсионное уравнение

Это уравнение и начальное условие

однозначно определяют Используя (322), получим коэффициент передачи оптимального фильтра.

Заметим, что дисперсионное уравнение не содержит принятого сигнала. Поэтому его можно решать до приема какой-либо информации и использовать для определения коэффициентов передачи в оптимальном фильтре. Дисперсионное уравнение является матричным уравнением, эквивалентным скалярным дифференциальным уравнениям. Однако ввиду того, что матрица симметрична, необходимо решать скалярных нелинейных дифференциальных уравнений.

В общем - случае невозможно получить в явном виде точное аналитическое решение, но это не имеет значения, так как уравнение получается в форме, удобной для интегрирования на аналоговой или цифровой вычислительной машине.

Дисперсионное уравнение является матричным уравнением Риккати, свойства которого всесторонне исследованы в других контекстах (см., например, [31—35]). Приведем лишь два свойства. Первое связано со случаем стационарного процесса с бесконечной памятью (задача Винера), а второе — с аналитическими решениями.

Свойство 15. Предположим, что фиксировано, а матрицы постоянны. При определенных условиях с возраста нием будет наблюдаться начальный переходный период, после которого коэффициенты передачи фильтра будут приближаться к постоянным значениям. Из (322) и (330) видно, что при ковариационная матрица ошибок и матрица коэффициентов передачи стремятся к постоянным значениям. Если справедливо условие то данная задача носит название задачи оценки при установившемся (стационарном) состоянии.

Левая часть (330) в этом случае равна нулю и дисперсионное уравнение превращается в систему квадратных алгебраических уравнений. Неотрицательно определенное решение системы есть

По поводу этого утверждения необходимо сделать ряд замечаний.

1. Как формулировать условия, чтобы задача оценки при установившемся состоянии системы имела смысл? Чтобы дать на этот вопрос наилучший ответ в общем виде, необходимо знать некоторые положения, которые не излагались [23]. Достаточное условие заключается в том, чтобы сообщение соответствовало стационарному случайному процессу.

2. Для малых можно вычислить различные решения и выбрать из них правильное. Даже при умеренных (например, практически более целесообразно решать (330) численным интегрированием. Мы можем начать с некоторой произвольной неотрицательно определенной и положить, что решение сходится к стационарному результату (точную формулировку см. в [23], теорема 4).

3. Напомним, что можно генерировать до приема информации в действительном масштабе времени. В качестве простого примера

моделирования дисперсии при помощи аналогового вычислителя рассмотрим уравнение

(Оно появится в примере 1.) Простой аналоговый метод моделирования показан на рис. 6.37. Начальным условием является (см. обсуждение в следующем параграфе).

Рис. 6.37. Аналоговое решение дисперсионного уравнения.

4. Для решения (или алгоритмизации решения) дисперсионного уравнения необходимо задать Здесь имеется несколько возможностей:

а) Процесс может начаться в момент времени с известного значения (например, с нулевой дисперсии) или со случайной величины, имеющей известную дисперсию.

б) Процесс может начаться в некоторый момент времени гораздо раньше и достигнуть статистически установившегося состояния. В свойстве 14 на стр. 607 было выведено дифференциальное уравнение, которому удовлетворяло Если достигается статистически уста: новившееся состояние, то и (273) сводится к

Это — алгебраическое уравнение, решением которого является Тогда

если процесс достиг установившегося состояния до момента времени Для того чтобы ненаблюдаемый процесс достигал статически установившегося состояния необходимо и достаточно, чтобы собственные значения имели неотрицательные действительные части. Это условие гарантирует, что решение уравнений (333) будет неотрицательно определенным.

Во многих случаях ненаблюдаемый стационарный процесс задается в основном посредством его спектра Элементы матрицы

легко получить из . В качестве примера рассмотрим вектор состояния в (191):

Если есть стационарный процесс, то

или в более общем виде

Заметим, что для данного вектора состояния

ввиду того, что является четной функцией.

Второе свойство дисперсионного уравнения в ряде случаев позволяет получить аналитические решения (главным образом в задачах, характеризуемых постоянной матрицей и конечным временем). В основном тексте мы не останавливаемся на деталях, однако в некоторых задачах они используются.

Свойство 16. Дисперсионное уравнение можно свести к системе двух линейных уравнений:

или, что эквивалентно,

Представим переходную матрицу (336) в виде

Тогда можно показать [32], что

Если интересующие нас матрицы постоянны, то всегда можно найти переходную матрицу в качестве матрицы коэффициентов (336). (См., например, задачу 6.3.21, где матрица получена при помощи метода преобразования Лапласа. Как показано в этой задаче, чтобы охватить все собственные значения, нам необходимо взять контур справа от всех полюсов.)

В этом параграфе задачу оптимальной линейной фильтрации мы сформулировали в терминах переменных состояния. Все представляющие интерес величины выражаются в виде выходных величин динамических систем. Три уравнения, описывающие эти динамические системы, выражают наши главные результаты.

Уравнение оценки

Уравнение коэффициента передачи

Дисперсионное уравнение

Для иллюстрации их применения рассмотрим ряд простых примеров, выбранных ради одной из трех целей:

1. Показать иной подход к задаче, которая может быть решена при помощи классической теории Винера.

2. Проиллюстрировать задачу, которую нельзя решить при помощи теории Винера.

3. Получить конкретный результат, который будет полезным при последующем изложении.

1
Оглавление
email@scask.ru