Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.3.2. Вывод уравнений оценкиПолучим дифференциальное уравнение, решение которого является оценкой сообщения (или сообщений) по минимуму среднеквадратической ошибки. Напомним, что оценка вектора компоненты является минимальной. Иначе говоря, минимизируются величины 1. Исходя из векторного уравнения Винера — Хопфа (свойство 2. Так как оптимальная оценка 3. Далее необходимо найти выражение для 4. Наконец, ввиду того, что
можно использовать (326) для отыскания матричного дифференциального уравнения, которому должна удовлетворять Этап 1. Начнем с интегрального уравнения, полученного для оптимального устройства точечной оценки, осуществляемой за конечное время [свойство
где
Продифференцировав обе части
Рассмотрим сначала первый член в правой части (310). При
Выражение в квадратных скобках есть просто левая часть (308). Следовательно,
Теперь рассмотрим первый член в левой части (310)
Используя (302), имеем
но второй член при
Подстановкой (315) и (312) в (310) получим
Очевидно, если выражение в квадратных скобках будет равно нулю при всех
Этап 2. Оптимальную оценку получаем пропусканием входного сигнала через оптимальный фильтр. Следовательно,
В (318) предполагается, что реализуемая оценка матрицей
Если
а ковариационная матрица
Рис. 6.36. Структура устройства оценки с обратной связью. В обоих случаях в (318) предполагается, что
Подставляя (317) в правую часть (319) и используя (318), получим
Удобно ввести новое обозначение для
Операции в (322) могут быть представлены матричной блок-схемой рис. 6.36. Мы видим, что все коэффициенты, за исключением
Поэтому (320) будет полностью определено, если мы сможем найти выражение для Этап 3. Сначала находим дифференциальное уравнение для ошибки
Продифференцировав, получим
Подставляя (302) вместо первого,
Последний этап — вывести дифференциальное уравнение для Этап 4. Продифференцировав
будем иметь
Подстановкой (325) в первое слагаемое (327) получим
Из (325) нетрудно усмотреть, что
Прибавляя результат перестановки и заменяя
Это уравнение и начальное условие
однозначно определяют Заметим, что дисперсионное уравнение не содержит принятого сигнала. Поэтому его можно решать до приема какой-либо информации и использовать для определения коэффициентов передачи в оптимальном фильтре. Дисперсионное уравнение является матричным уравнением, эквивалентным В общем - случае невозможно получить в явном виде точное аналитическое решение, но это не имеет значения, так как уравнение получается в форме, удобной для интегрирования на аналоговой или цифровой вычислительной машине. Дисперсионное уравнение является матричным уравнением Риккати, свойства которого всесторонне исследованы в других контекстах (см., например, [31—35]). Приведем лишь два свойства. Первое связано со случаем стационарного процесса с бесконечной памятью (задача Винера), а второе — с аналитическими решениями. Свойство 15. Предположим, что Левая часть (330) в этом случае равна нулю и дисперсионное уравнение превращается в систему По поводу этого утверждения необходимо сделать ряд замечаний. 1. Как формулировать условия, чтобы задача оценки при установившемся состоянии системы имела смысл? Чтобы дать на этот вопрос наилучший ответ в общем виде, необходимо знать некоторые положения, которые не излагались [23]. Достаточное условие заключается в том, чтобы сообщение соответствовало стационарному случайному процессу. 2. Для малых 3. Напомним, что моделирования дисперсии при помощи аналогового вычислителя рассмотрим уравнение
(Оно появится в примере 1.) Простой аналоговый метод моделирования показан на рис. 6.37. Начальным условием является
Рис. 6.37. Аналоговое решение дисперсионного уравнения. 4. Для решения (или алгоритмизации решения) дисперсионного уравнения необходимо задать а) Процесс может начаться в момент времени б) Процесс может начаться в некоторый момент времени
Это — алгебраическое уравнение, решением которого является
если процесс достиг установившегося состояния до момента времени Во многих случаях ненаблюдаемый стационарный процесс задается в основном посредством его спектра легко получить из
Если
или в более общем виде
Заметим, что для данного вектора состояния
ввиду того, что Второе свойство дисперсионного уравнения в ряде случаев позволяет получить аналитические решения (главным образом в задачах, характеризуемых постоянной матрицей и конечным временем). В основном тексте мы не останавливаемся на деталях, однако в некоторых задачах они используются. Свойство 16. Дисперсионное уравнение можно свести к системе двух линейных уравнений:
или, что эквивалентно,
Представим переходную матрицу (336) в виде
Тогда можно показать [32], что
Если интересующие нас матрицы постоянны, то всегда можно найти переходную матрицу В этом параграфе задачу оптимальной линейной фильтрации мы сформулировали в терминах переменных состояния. Все представляющие интерес величины выражаются в виде выходных величин динамических систем. Три уравнения, описывающие эти динамические системы, выражают наши главные результаты. Уравнение оценки
Уравнение коэффициента передачи
Дисперсионное уравнение
Для иллюстрации их применения рассмотрим ряд простых примеров, выбранных ради одной из трех целей: 1. Показать иной подход к задаче, которая может быть решена при помощи классической теории Винера. 2. Проиллюстрировать задачу, которую нельзя решить при помощи теории Винера. 3. Получить конкретный результат, который будет полезным при последующем изложении.
|
1 |
Оглавление
|