4.3.6. Методы решения интегральных уравнений

Как было показано выше, для полного задания структуры приемника необходимо решить интегральное уравнение для или

В настоящем параграфе мы рассмотрим три представляющих интерес случая:

1. Бесконечный интервал наблюдения, стационарная помеха.

2. Конечный интервал наблюдения, разложимое ядро.

3. Конечный интервал наблюдения, стационарная помеха. Бесконечный интервал наблюдения, стационарная помеха. В этом частном случае и ковариационная функция шума является функцией только разности аргументов. Поэтому уравнение (161) имеет вид

где предполагается, что можно найти такой формы. Обозначив преобразование Фурье через а преобразование Фурье

через и преобразовав обе части (230) относительно получим

Нетрудно заметить, что есть просто величина, обратная спектру шума. Далее, в случае стационарного шума, (152) можно записать в виде

Обозначив преобразование Фурье функции через найдем, что из (232) вытекает

Наконец, для случая обнаружения и линейной оценки является полезным выражение (154). Произведя преобразование, получим

где подстрочный индекс означает, что речь идет о бесконечном интервале.

Для иллюстрации различных результатов рассмотрим ряд конкретных примеров.

Пример 1 Допустим, что небелая компонента шума имеет рациональный спектр. Типичным является случай, когда

и

Тогда

где Перепишем (237) в виде

Нам необходимо выбрать так, чтобы удовлетворялось уравнение (233). Для получения реализуемого выбеливающего фильтра члену поставим в соответствие а сопряженному с ним члену — Члену

в числителе можно поставить в соответствие или Следо. вательно, для выбеливающего фильтра имеются два равноценных варианта;

и

Таким образом, оптимальный приемник (обнаружитель) может быть реализован в сопряженных формах выбеливающего фильтра, изображенных на рис. 4.42. Здесь также показана эпюра колебаний для случая, когда является прямоугольным импульсом. В связи с изложенным можно отметить три обстоятельства

Рис. 4.42. Варианты «выбеливающей» реализации оптимального приемника.

I. Выбеливающий фильтр обладает бесконечной памятью. Поэтому для выработки входного напряжения коррелятора он полностью использует все прошлое процесса

5. Сигнал на входе перемножителя будет появляйся в момент времени и будет продолжаться даже после времени

3. Фактическими пределами интегрирования являются так как сигнал на одном из входов перемножителя до момента времени равен нулю.

Можно убедиться, что эти выводы справедливы во всех случаях, когда шум состоит из белого (некоррелированного) и независимого от него небелого (коррелированного) шума с рациональным спектром. Они справедливы также, когда коррелированный шум имеет нерациональный спектр, хотя это непосредственно проверить и труднее. Поэтому можно сделать вывод, что при указанных выше условиях увеличение интервала наблюдения всегда влечет за собой повышение достоверности обнаружения.

Рис. 4.43. Интерпретация оптимального приемника в виде комбинации устройств оценки и вычитания.

Следует отметить, что если в качестве декоррелирующего фильтра используется то выходной величиной фильтра в нижней ветви будет реализуемая точечная оценка по минимуму среднего квадрата ошибки. Впоследствии, при исследовании реализуемых устройств оценки в гл. 6, мы будем иметь возможность убедиться, что этот результат справедлив всегда.

Отметим, что столь же просто (во всяком случае, по идее) можно оперировать непосредственно с . В данном конкретном случае это практически нецелесообразно, однако такой подход приводит к интересной интерпретации оптимального приемника. Заметим, что соответствует нереализуемому фильтру. Нетрудно видеть, что можно пропустить через этот фильтр, а затем взять функцию взаимной корреляции между выходным сигналом фильтра и как показано на рис. 4.43, а. Обратим внимание на то, что интегрирование осуществляется только в пределах [0, Т], так как вне этого интервала. Однако на оказывает влияние

Отметим, что структура приемника на рис. 4.43, б совпадает с блок-схемой приемника, изображенной на рис. 4.39. Следовательно, сигнал на выходе нижней ветви должен быть равен нереализуемой оценке по минимуму среднего квадрата ошибки. В этом можно убедиться непосредственно подстановкой (235) и (236) в (3.239). Впоследствии мы убедимся, что точно такой же результат получается в общей задаче обнаружения при наличии коррелированного (небелого) шума. Из сравнения блок-схем рис. 4.42 и 4.43 следует, что обе они содержат устройства оценки коррелированного шума, но используют полученные оценки по-разному.

В качестве второго примера рассмотрим случай, когда отсутствует компонента белого шума.

Пример 2. Пусть

Тогда

Если используется декоррелирующая (выбеливающая) реализация, то одним из вариантов декоррелирующего фильтра является

Таким образом, декоррелирующий фильтр представляет собой параллельно включенные дифференцирующее и усилительное звенья (рис. 4.44, а). С другой стороны, используя (234), видим, что

Учитывая, что в частотной области соответствует дифференцированию во временной области, получим (рис. 4.44, б)

Заметим, что функция должна быть дифференцируемой на всем интервале Но так как мы считаем, что при и при то также должны быть равны нулю. Это ограничение представляется интуитивно вполне логичным.

Рис. 4.44. Оптимальный приемник при отсутствии компоненты белого шума.

Вспомним рассуждение, приведенное нами ранее: если бы сигнал содержал перепад, который был бы формально дифференцируемым, то в результате у нас был бы импульс плюс белый шум, что привело бы к идеальному обнаружителю. Однако очевидно, что это не соответствует условиям реальной физической ситуации. Придавая импульсу конечное время нарастания или включая в модель некоторый уровень белого шума, можно избежать этого положения.

Мы видим, Что приемник не использует ни одного из принятых колебаний вне интервала несмотря на то, что они имеются. Поэтому следует ожидать, что решение для должно быть одинаковым. Вскоре мы убедимся в этом.

Данный результат будет соблюдаться при условии, если спектр шума имеет только полюса, поскольку декоррелирующий фильтр соответствует взвешенной сумме операторов взятия производной. Когда общий спектр шума имеет нули, повышению достоверности обнаружения будет способствовать увеличение времени наблюдения. Заметим, что при наличии независимого белого шума общий спектр шума будет всегда иметь нули.

Заканчивая данный параграф, целесообразно выделить некоторые важные результаты.

1. Для рациональных спектров коррелированного шума и ненулевого независимого белого шума достоверность обнаружения при бесконечном интервале наблюдения выше, чем при любом конечном интервале наблюдения. Поэтому достоверность обнаружения при бесконечном интервале наблюдения, характеризуемая показателем обеспечивает простую границу достоверности обнаружения при конечном интервале наблюдения. Для конкретного однополюсного спектра, приведенного в примере 1, можно найти реализуемый устойчивый декоррелирующий фильтр, причем этот фильтр является не единственным. В гл. 6 мы вновь встретимся с декоррелирующими фильтрами для рациональных спектров. Там будет показано, как отыскивать декоррелирующие фильтры для произвольных рациональных спектров.

2. Для рациональных спектров коррелированного шума без нулей и в отсутствие белого шума имеет значение только интервал, в пределах которого сигнал отличен от нуля. В этом случае декоррелирующий фильтр является реализуемым, но неустойчивым (он содержит дифференцирующие звенья).

Рассмотрим теперь стационарные шумовые процессы и конечный интервал наблюдения.

Конечный интервал наблюдения. Рациональные спектры. Рассмотрим некоторые свойства интегральных уравнений на конечном интервале. Большая часть этих свойств доказывается в стандартных руководствах по интегральным уравнениям (например, [33] и [34]). Четкое изложение свойств интегральных уравнений применительно к теории обнаружения можно также найти у Хелстрома [14]. Здесь мы укажем простые свойства, которые будут полезны при дальнейшем изложении материала, и приведем некоторые типичные примеры.

Первым представляющим интерес уравнением является (195):

где известны. Требуется решить (246) относительно Рассмотрим раздельно два частных случая.

Случай 1. Ядро не содержит сингулярностей. С физической точки зрения это означает, что в системе отсутствует белый шум. В данном случае (246) есть уравнение Фредгольма первого рода. Можно показать [33], что если интервал конечен, то непрерывного интегрируемого в квадрате решения не существует вообще. В дальнейшем будет показано, что решение всегда можно получить, если допустить наличие сингулярных функций (импульсов и их производных) в составе функции на концах интервала наблюдения.

В § 4.3.7 показано, что если функция не интегрируема в квадрате, то критерий неусточив по отношению к малым отклонениям в принятой модели.

Мы намеренно (из физических соображений) случай 1 подробно не рассматриваем. В этом параграфе мы приведем специальное упражнение, чтобы выяснить, что произойдет, если устремить уровень белого шума к нулю. Будет показано, что для получения результатов, имеющих физический смысл в отсутствие белого шума, необходимо наложить на дополнительные ограничения.

Случай 2. Шум содержит ненулевую компоненту белого шума. Тогда можно записать

где непрерывная интегрируемая в квадрате функция. В этом случае представляет интерес уравнение (1696), которое перепишем в виде

Это уравнение называется уравнением Фредгольма второго рода. Непрерывное интегрируемое в квадрате решение для существует всегда, если непрерывная интегрируемая в квадрате функция.

Рассмотрим теперь два типа ядер, при которых возможны простые процедуры решения (246) и (248).

Тип А. Рациональные ядра. Шум есть отклик стационарной линейной пассивной цепи с сосредоточенными параметрами, возбуждаемой белым гаусссовым шумом. Здесь ковариационная функция зависит только от и поэтому можно написать

Преобразование имеет вид

и является отношением двух полиномов по переменной Числитель и знаменатель имеют относительно порядки соответственно.

Предполагается, что обладает конечной мощностью, так что Ядра, преобразования которых удовлетворяют уравнению (250), называются рациональными ядрами.

Интегральные уравнения с ядром такого типа подробно рассмотрены в [35—37, 47, 54, 62]. Позже будет рассмотрен пример, который иллюстрирует относящиеся к этому вопросу методы и проблемы.

Тип В. Разложимые ядра. Ковариационную функцию шума можно записать в виде

где К — конечно. Ядро этого типа часто встречается в задачах радиолокации при наличии нескольких целей. Как будет показано в следующем параграфе, решение уравнения (246) получается непосредственно. Ядра такого типа называются разложимыми. Заметим, что если положить то все ядра считались бы разложимыми, так как всегда можно записать

где и собственные значения и собственные функции. Такой метод решения не практичен, поскольку для отыскания необходимо решить еще одно интегральное уравнение.

Рассмотрим в этом параграфе рациональные ядра, а в следующем — разложимые ядра.

Уравнение Фредгольма первого рода с рациональными ядрами. Основной метод сводится к отысканию дифференциального уравнения, соответствующего интегральному уравнению. Для ядра рассматриваемой формы это будет дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, получить решение которого не представляет труда.

В самом деле, частное решение этого дифференциального уравнения есть как раз функция полученная нами выше [см. (234)]. Интегральное уравнение с рациональным ядром соответствует дифференциальному уравнению в сочетании с системой граничных условий. Для учета граничных условий нужно подставить найденное частное решение вместе со взвешенной суммой однородных решений обратно в интегральное уравнение и подобрать веса таким образом, чтобы удовлетворялось интегральное уравнение. Именно в этом пункте могут возникнуть затруднения. Для иллюстрации данного метода и возможных затруднений, с которыми мы можем встретиться, рассмотрим один простой пример. Прежде всего покажем, как функция вписывается в общую схему решения. Предположим, что

Напомним, что

Дифференцирование по дает

где В более общем виде

Аналогичным образом

Из (253) видно, что правые части (256) и (257) тождественны. Следовательно, ядро удовлетворяет дифференциальному уравнению, полученному путем приравнивания левых частей уравнений (256) и (257):

Теперь интересующее нас интегральное уравнение можно записать в виде

Умножая обе части уравнения на получим

Используя уравнение (258) в правой части уравнения (260), имеем

Но из наших предыдущих результатов [см. (234)] известно, что если бы интервал наблюдения был бесконечным, то

или

Таким образом, функция есть частное решение уравнения (261). Однородные решения уравнения (261) находятся из

Теперь прибавим частное решение к взвешенной сумме однородных решений подставим результат обратно в интегральное

уравнение и подберем весовые коэффициенты так, чтобы оно удовлетворялось. Дальнейший ход рассуждений будет более понятен, если рассмотреть конкретный пример.

Пример. Рассмотрим (246) и ради упрощения алгебраических выкладок возьмем пределы

или

Таким образом,

и

Дифференциальное уравнение (261) приобретает вид

Частное решение (261) имеет вид

а однородного решения не существует, так как

Подставив (270) обратно в интегральное уравнение, получим

Чтобы функция была решением, должно выполняться соотношение

Поскольку однородных решений не существует, нет и весовых коэффициентов, которые надо подбирать. Интегрируя по частям, получим эквивалентное условие

Очевидно, чтобы функция удовлетворяла интегральному уравнению, оба члена в квадратных скобках должны исчезать независимо. Если это условие выполняется, то данное решение является полным. К сожалению, поведение сигнала на концах интервала зачастую приводит к тому, что члены в квадратных скобках отличны от нуля. Чтобы члены уничтожались,

необходимо к прибавить еще некоторую величину. Обозначим этот дополнительный член через и выберем его так, чтобы

Для того чтобы получить член должен содержать импульс а для получения необходимо, чтобы в составе был импульс . Следовательно,

Чтобы удовлетворялось уравнение (274), постоянные в (276) должны быть равны

МОНЖ МГЬИЧГ)

Таким образом, полное решение интегрального уравнения имеет вид

Из (153) и (154) видно, что выходная величина устройства обработки равна

Следовательно, оптимальное устройство обработки состоит из фильтра и дискретизатора.

Заметим, что функция будет интегрируемой в квадрате только тогда, когда Смысл этого условия будет обсужден в § 4. 3.7.

Когда спектр содержит несколько полюсов, на концах интервала необходимо добавлять сингулярности более высокого порядка. Когда спектр содержит нули, будут существовать однородные решения, которые обозначим через Можно показать, что обще решение в этом случае имеет вид

где порядок полинома как функции порядок полинома как функции (см., например, (351). Функция производная порядка от Много усилий было посвящено отысканию эффективных методов получения коэффициентов решения (280) [63, 3].

Как уже указывалось, при наличии белого шума результирующее интегральное уравнение будет уравнением Фредгольма второго рода. Для рациональных спектров методы решения его аналогичны, однако характер решения заметно отличается.

Уравнение Фредгольма второго рода с рациональными ядрами. Интересующее нас уравнение имеет вид (248)

Предполагается, что шум стационарен и имеет спектр

Заметим, что многочлены одного порядка. (Это объясняется тем, что имеет конечную мощность.) Поступая так же, как в предыдущем параграфе, получим дифференциальное уравнение, которое имеет частное решение и однородные решения Подставив

в интегральное уравнение, придем к выводу, что путем надлежащего выбора всегда можно получить решение интегрального уравнения. (В функции нет необходимости, мы располагаем достаточным количеством весов (или степеней свободы) для удовлетворения граничным условиям.)

Проиллюстрируем этот метод простым примером.

Пример. Пусть

Соответствующий спектр имеет вид

Тогда

Интегральное уравнение (используя ради простоты интервал можно записать в виде

Соответствующее дифференциальное уравнение нетрудно получить из (286):

где . Частное решение есть просто Его можно получить путем непосредственного решения дифференциального уравнения или методами преобразования

Однородные решения имеют вид

Поэтому

Подстановка (292) в (287) дает систему двух уравнений, которым должны удовлетворять постоянные Решая ее относительно в явном виде, получим полное решение. Ряд типичных случаев вынесен в задачи.

Интересной особенностью является то, что решение всегда можно найти, избежав необходимости вводить сингулярные функции. Таким образом, допущение о наличии белого шума гарантирует нам интегрируемое в квадрате решение. (Сходимость рядов в (164) и (170) предполагает, что решение интегрируемо в квадрате.)

Последним интересующим нас интегральным уравнением является уравнение (163), определяющее Переписав его для интервала , будем иметь

Видно, что оно совпадает с уравнением (281), полученным в предыдущей задаче, за исключением того, что в каждом выражении имеется лишняя переменная. Поэтому можно считать фиксированным параметром, переменным, или наоборот. В любом случае получается уравнение Фредгольма второго рода.

Для рациональных ядер процедура носит такой же характер. Проиллюстрируем это простым примером.

Пример.

Используя оператор и результаты (258) и (286), будем иметь

или

где

Пусть Частное решение имеет вид

Прибавим теперь к частному решению (299) однородные решения и подставим результат в (295). Получим

и

Полное решение имеет вид

Найденное решение симметрично относительно . Ясно, что это выражение мало привлекательно для практических вычислений. Важным частным случаем, с которым нам придется встречаться позднее, является случай, когда компонента коррелированного шума мала. Тогда и

Следует отметить одно важное свойство (293). Оно заключается В том, что наличие лишней переменной усложняет алгебраические выкладки, но основная техника решения остается вполне пригодной.

Этим завершается наше рассмотрение интегральных уравнений с рациональными ядарами на конечных интервалах времени.

Можно сделать ряд выводов.

1. Процедура отыскания решения является простой по своей идее и прямо ведет к цели, однако сопряжена с утомительными выкладками.

2. При отсутствии компоненты белого шума на сигнал необходимо налагать некоторые ограничения, чтобы гарантировать интегрируемость функции в квадрате.

3. При наличии белого шума увеличение интервала наблюдения всегда повышает достоверность обнаружения.

4. Процедура решения для при произвольных уровнях коррелированного шума представляется чрезмерно сложной в реализации. В качестве основы для сравнения более простых процедур решения можно использовать выражение для полученное из (198). [В § 6.7 будет рассмотрен более легкий путь отыскания решения для ]

Конечное время наблюдения, разложимые ядра. В качестве последнего вопроса рассмотрим интегральные уравнения с разложимыми ядрами. В противоположность сложности предыдущего параграфа решения в случае разложимых ядер можно получить почти без выкладок. В данном случае

где собственные значения и собственные функции Выражение (304) показывает, что шум имеет только К ненулевых собственных значений. Поэтому, если в модель не включить компоненту белого шума, то может возникнуть сингулярный (вырожденный) случай. Если же предусмотреть в модели компоненту белого шума, то, как нетрудно заметить, решение для есть просто усеченный вариант бесконечного ряда (164). Таким образом,

Решение уравнения (154) не встречает трудностей. Используя (305) в (162), а результат — в (154), получим

Вспоминая определение даваемое выражением (201), и то, что функция непрерывна на концах интервала, будем иметь

Соответствующая структура приемника изображена на рис. 4.45. Задача с разложимыми ядрами, имея простое решение, часто встречается на практике.

Рис. 4.45. Оптимальный приемник для случая разложимой помехи.

Типичный случай иллюстрируется рис. 4.46. Здесь ставится задача обнаружения цели в присутствии мешающей цели и белого шума [38]. Пусть

Если предположить, что известны, то задача становится тривиальной. Простейшая нетривиальная модель соответствует предположению, что известное нормированное колебание, нормальная случайная величина с нулевым средним, Тогда

Но это частный случай только что решенной задачи. Соответствующая блок-схема приемника представлена на рис. 4.47. Функция получается из (307). Блок-схему можно перечертить так, как показано на

Рис. 4.46. Обнаружение при наличии мешающей цели.

рис. 4.47, б, дающем интерпретацию приемника как оценивающего — вычитающего устройства (такая реализация, очевидно, является неэффективной). Показатель качества обнаружения получим из (198):

где

Переписав (310), будем иметь

при Этот результат интуитивно предугадывается. Если мешающий сигнал является ортогональным с сигналом

Рис. 4.47. Оптимальный приемник для случая наличия мешающих целей.

То независимо от его уровня он не может ухудшить Достоверность обнаружения. С другой стороны, при

Теперь сигналы по обеим гипотезам одинаковы и единственное основание для вынесения решения — различие в их амплитудах.

Этот пример был приведен по двум причинам.

1. Он иллюстрирует важный случай небелого шума, когда обратные ядра особенно просто вычислять.

2. Он показывает все идеи, но не детали, необходимые для решения задачи обнаружения (или оценки) при наличии многократных отражений (радиолокация) или реверберации (гидролокация). В гл. 4 второго тома, после того, как будет построена подробная модель для задачи реверберации, мы покажем, как эти результаты можно использовать при решении реальных задач.

Краткие итоги по интегральным уравнениям. В изложенном параграфе были рассмотрены методы решения нескольких типов интегральных уравнений, встречающихся в задачах обнаружения сигнала и оценки его параметров при наличии белого шума. Характер решения определяется наличием или отсутствием компоненты белого шума. Следует обратить внимание на простоту решения в случае стационарного процесса на бесконечном интервале. Поскольку качество обнаружения в этом случае всегда служит границей для случая стационарного процесса на конечном интервале, его полезно вычислять в качестве предварительного результата.

В качестве последнего вопроса задачи с коррелированным шумом рассмотрим степень зависимости полученного результата от отклонений от первоначальных допущений, сделанных в модели задачи.