6.2.2. Ошибки в оптимальных системах

Чтобы оценить качество оптимального линейного фильтра, вычислим минимальную среднеквадратическую ошибку. Выражение для среднего квадрата ошибки (24) было приведено при изложении свойства 4. Так как процессы стационарны, а параметры фильтра постоянны во времени, то средний квадрат ошибки не будет зависеть от времени. Поэтому формула (24) упрощается:

Поскольку при то (100) можно записать иначе

Теперь

где

Подстановкой обратного преобразования (102) в (101) получаем

Изменив порядок интегрирования, будем иметь

Часть интеграла внутри квадратных скобок равна Поскольку -величина действительная, то

Результат (106) является удобным выражением для среднего квадрата ошибки. Заметим, что предварительно необходимо разложить входной спектр и выполнить обратное преобразование. Здесь применимы рассмотренные нами приемы.

Формулу (106) можно использовать для иссследования влияния а на средний квадрат ошибки. Обозначим полезный сигнал при через а полезный сигнал для произвольного а — через Тогда

и

Теперь можно выразить (106) через Полагая в (106)

имеем

Отметим, что не зависит от а. Поскольку подынтегральное выражение является положительной величиной, ошибка монотонно возрастает с увеличением а. Ошибка достигает наименьшего значения при (бесконечная задержка) и возрастает монотонно до единицы при Этот результат свидетельствует о том, что для любого полезного сигнала минимальная среднеквадратическая ошибка будет убывать, если можно позволить задержку при обработке сигнала. Среднеквадратическая ошибка при бесконечной задержке дает нижнюю границу среднеквадратическной ошибки при любой конечной задержке, и часто называется неустранимой ошибкой. Более интересной величиной в некоторых случаях является нормированная ошибка. Мы определяем нормированную ошибку соотношением

или

Теперь можно применить полученные результаты к предыдущему примеру.

Пример 3 (продолжение). Для нашего примера

Вычислив интегралы, получим

и

Двумя предельными случаями для (111) и (113) являются случаи соответственно:

График зависимости от показан на рис. 6.15. Физически величина связана с величиной, обратной ширине спектра сообщения.

Рис. 6.15. Влияние временного сдвига на ошибку фильтрации.

Если ввести величину

то единицами измерения по горизонтальной оси будут что соответствует задержке, измеренной на интервалах корреляции. Видно, что ошибка при задержке на одну постоянную времени приближенно равна ошибке при бесконечном времени задержки. Отметим, что ошибка не является симметричной функцией параметра а.

Прежде чем подвести итог нашему обсуждению проблемы реализуемых фильтров, рассмотрим родственную проблему нереализуемых фильтров.