5.4. Оценка многомерных сигналов

В § 4.5 задача обнаружения была распространена на случай принимаемых сигналов. В задаче 4.5.4 гл. 4 было показано, что аналогично можно поступить при линейной и нелинейной оценке одного параметра. В задаче 4.6.7 гл. 4 сходное обобщение было получено для нескольких параметров. В настоящем параграфе мы займемся вопросами оценки непрерывных сообщений при использовании принимаемых сигналов. Как и следует ожидать, процедура вывода представляет простую комбинацию выкладок, приведенных в задаче 4.6.7 и § 5.2.

Следует указать, что все одномерные представления непосредственно подводят к многомерному случаю. можем почти догадаться о форме конкретных результатов. Наибольший интерес в многомерном случае представляет решение указанных выше уравнений применительно к реальным физическим проблемам. Оказывается, что в этом случае приходится исследовать много вопросов, не встречающихся в скалярном случае. Эти вопросы и их приложения будут подробно

изучаться в гл. 5 второй части. Пока же мы просто выведем уравнения, которые определяют оценки по максимуму апостериорной вероятности и указывают границу среднеквадратических ошибок.

Прежде чем перейти к выводу этих уравнений, целесообразно обсудить ряд физических ситуаций, в которых встречается задача данного типа.

5.4.1. Примеры многомерных задач

Случай 1. Многоуровневые (многопозиционные) системы связи.

Во многих системах связи приходится передавать несколько сообщений одновременно. При использовании одного распространенного метода модуляция осуществляется в два этапа. Сначала каждым сообщением модулируют соответствующую поднесущую. Промодулированные поднесущие затем складываются и результирующим сигналом модулируется основная несущая, которая и передается по каналу.

Рис. 5.11. Система ЧМ - ЧМ.

Типичной является система показанная на рис. 5.11, в которой каждым сообщением модулируется по частоте соответствующее синусоидальное колебание с частотой Частоты выбираются так, чтобы модулированные поднесущие находились в неперекрывающихся полосах частот. Модулированные поднесущие усиливаются, суммируются и результирующим групповым сигналом модулируется по частоте основная несущая, которая и передается в канал связи.

С точки зрения формы записи удобно обозначать сообщений посредством матрицы-столбца:

Используя эту систему обозначений, передаваемый сигнал можно записать в виде

где

В канале к переданному сигналу добавляется шум, так что принятое колебание можно записать в виде

В данном случае нужно оценить сообщений одновременно. Поскольку имеется сообщений и только одно принимаемое колебание, мы называем эту задачу -мерной.

Система ЧМ-ЧМ является типичной из многих возможных многоуровневых систем модуляции, например: ОБП-ЧМ, АМ-ЧМ и ФМ-ФМ. Количество возможных комбинаций различных методов модуляции практически неограниченно. Рассмотрение современных методов модуляции можно найти, например, в [8].

Рис. 5.12. Многоканальная система.

Случай 2. Многоканальные системы. В § 4.5 говорилось об использовании разнесенных систем для цифровых систем связи. Аналогичные системы могут применяться и при передаче аналоговых сообщений. На рис. 5.12 изображена типичная многоканальная система связи, в которой сообщением модулируется по частоте ряд несущих, имеющих различные частоты. Модулированные сигналы передаются по различным каналам, в каждом из которых сигнал

подвергается ослаблению и воздействию помех. Очевидно, в этом случае имеется принимаемых колебаний

где

И здесь удобна матричная форма записи. Обозначим

и

Тогда

Здесь требуется оценить одно сообщение и для осуществления этого мы располагаем принятыми колебаниями. Эту задачу называют -мерной. Рассмотренная система является частотно-разнесенной. Другими очевидными видами разнесения являются пространственное и поляризационное разнесение.

Физическая проблема, которая, по существу, сводится к разнесенной системе, рассмотрена ниже.

Случай 3. Пространственно-временная система. Во многих гидроакустических и радиолокационных задачах приемная система состоит из элементов, образующих решетку (рис. 5.13). Сигнал, принятый элементом, содержит сигнальную компоненту член обусловленный внешними помехами, и член определяемый собственными (внутренними) шумами приемного элемента. Таким образом, полное принятое колебание на элементе равно

Обозначим

Видно, что это просто другая физическая ситуация, в которой для оценки одного сообщения мы располагаем сигналами. Как и ранее, мы имеем здесь -мерную задачу.

Случай 4. (N X М)-мерные задачи. Если взять любой из методов модуляции случая 1 и осуществлять передачу по каналу с разнесением, то, очевидно, мы будем иметь -мерную задачу оценки.

Рис. 5.13. Пространственно-временная система.

В этом случае принятый сигнал имеет компоненту, зависящую от всех сообщений Поэтому

В матричной записи

Перечисленные случаи служат иллюстрацией типов физических ситуаций, в которых встречаются многомерные задачи оценки. Теперь сформулируем модель задачи в общем виде.