3.3. Задание случайных процессов

Начнем изложение этого параграфа с краткого обзора принятых способов определения и задания случайных процессов.

3.3.1. Обычные способы задания случайных процессов

Понятие случайного процесса хорошо знакомо. Каждый раз, когда проводится эксперимент (опыт), итогом его является функция, определенная на интервале времени, а не какое-либо одно число. Математическая модель случайного процесса иллюстрируется рис. 3.7.

Рис. 3.7. Ансамбль выборочных функций.

Каждая точка в выборочном пространстве отображается во временную функцию. Мы могли бы записать функцию, происходящую из как с тем, чтобы подчеркнуть ее происхождение, однако проще обозначать ее просто как Набор колебаний, связанных с точками пространства О, называется ансамблем. Наблюдая ансамбль в любой данный момент времени, скажем будем иметь случайную

величину Аналогично, в другие моменты времени, скажем это будут случайные величины

Очевидно, мы могли бы характеризовать любую заданную случайную величину ее плотностью вероятности. Более трудный вопрос заключается в том, как характеризовать весь процесс. Существует одно очевидное свойство, которым должен обладать метод задания (представления). Если рассматривать ряд моментов времени на интервале определения процесса, то им соответствуют случайных величин Всякое полное задание должно позволять определить совместную плотность вероятности

Кроме того, оно должно позволять определить эту плотность для любого множества моментов времени на заданном интервале (для любого конечного

К сожалению, то, что представление этого типа будет адекватно для ответа на все интересующие вопросы относительно случайного процесса, не является очевидным. Даже если оно оказывается адекватным, имеется практическая трудность в фактическом задании (определении) указанных плотностей для произвольного случайного процесса. Существует два общепринятых способа преодоления этой трудности в определении плотности порядка.

Структурные процессы. Рассмотрим только те процессы, в которых любая плотность порядка имеет определенную структуру, которая может быть воспроизведена (получена) путем использования плотности низшего порядка и известного алгоритма.

Пример. Рассмотрим плотность вероятности для упорядоченного множества моментов времени

Если

то процесс называется марковским. В этом случае знание плотности второго порядка позволяет конструировать плотность порядка (см., например, [2] или задачи 3.3.9 и 3.3.10). Другие структурные процессы будут рассмотрены далее по ходу изложения.

Частичное задание. Рассмотрим теперь операции над случайным процессом, которые могут быть изучены без фактически полного задания процесса. Для таких операций нам необходимо только частичное задание процесса. Возможно большое число частичных заданий. Укажем два наиболее распространенных:

1. Представление только в один момент времени.

2. Представление вторыми моментами.

При задании в один момент времени определяется только плотность вероятности первого порядка в момент времени Вообще говоря, она будет функцией времени. Полезность такого представления иллюстрируется простейшим примером.

Пример, Пусть

Предположим, что статистически независимы известны Процесс обрабатывается безынерционным нелинейным устройством с целью получения по критерию минимальной среднеквадратической ошибки оценки процесса которую обозначим через

Согласно главе есть просто условное среднее. Так как устройство обработки безынерционное, то можно использовать только Тогда

Если нормальная случайная величина с распределением нормальная величина с распределением то несложно показать (ср. задачу 3.3.2), что

так что безынерционное устройство обработки оказывается линейным. Отметим, что поскольку мы были ограничены только безынерционным устройством, полное задание процесса является необязательным.

При задании процесса его вторыми моментами мы задаем только первые и вторые моменты процесса. Функция среднего значения процесса определяется формулой

Вообще говоря, это есть функция времени. Корреляционная функция определяется выражением

Ковариационная функция определяется как

Частичное задание процесса хорошо подходит к линейным операциям над случайными процессами. Этот тип приложения хорошо известен (см., например, [1]).

Ковариационная функция обладает несколькими полезными для нас свойствами. Как явствует из определения (29), она симметрична

Если умножить выборочную функцию на некоторую детерминированную функцию интегрируемую в квадрате, и проинтегрировать на интервале то получим случайную величину

Среднее этой случайной величины равно

а дисперсия

Введя математическое ожидание под знак интеграла, получим

Дисперсия должна быть больше или равна нулю. Таким образом, мы показали, что

для любой с конечной энергией. Это свойство называется неотрицательной определенностью. Если неравенство (35) выполняется строго для всех с ненулевой конечной энергией, то говорят, что положительно определенная. Свойства (30) и (35) понадобятся нам в следующем параграфе.

Если процесс определен на бесконечном интервале и его ковариационная функция зависит только от а не от или и порознь, то говорят, что процесс ковариационно-стационарен и записывают

Аналогично, если корреляционная функция зависит только от то говорят, что процесс корреляционно-стационарен, и записывают

Для стационарных процессов задание, использующее спектр плотности мощности (энергетический спектр) эквивалентно заданию корреляционной функции

и

Как уже указывалось, частичные виды задания полезны только тогда, когда операции, выполняемые над случайными процессами, имеют вполне определенную форму. Гораздо более пол езным представлением для интересующих нас задач является представление в виде ортогональных рядов. В следующем параграфе мы используем разложение в ряд для развития представления случайного процесса моментами второго порядка. В § 3.3.3 мы распространим этот метод для того, чтобы получить полное описание для конкретного интересующего нас процесса. Следует заметить, что нам еще пред сто и овладеть полным заданием случайного процесса.