5.2. Вывод уравнений оценки

В данном параграфе требуется решить задачу оценки для системы, показанной на рис. 5.1. Общая категория интересующих нас систем определяется тем свойством, что отображение из является безынерционным преобразованием.

Принимаемый сигнал имеет вид

Под безынерционным преобразованием понимается то, что передаваемый в некоторый момент времени сигнал зависит только от и не зависит от прошлого течения процесса

5.2.1. Безынерционные системы модуляции

Сделаем следующие допущения:

1. Сообщение и помеха выборочные функции независимых непрерывных нормальных процессов с нулевыми средними и ковариационными функциями соответственно.

2. Сигнал имеет производную по Например, для ДБП-АМ-ПН сигнала (1) производная равна

Разумеется, если преобразование линейное, то производная сигнала зависеть от уже не будет. Такие методы модуляции называются линейными. Для

Производная является функцией сообщения Это пример нелинейного метода модуляции. Указанные представления полностью аналогичны методам линейной и нелинейной модуляции в задаче оценки параметров сигнала.

Как и в случае оценки параметра сигнала, мы выбираем подходящий критерий. Можно пользоваться одним из двух критериев — по минимуму среднеквадратической ошибки или по максимуму апостериорной вероятности. Оба эти критерия просты по своей идее и приводят к одинаковым результатам для линейных методов модуляции.

В случае нелинейных методов модуляции эти критерии имеют свои преимущества и недостатки. При использовании критерия минимума среднеквадратической ошибки, если апостериорная плотность вероятности сообщения на интервале является квадратичной формой нормального типа, найти явное выражение для условного среднего затруднительно. С другой стороны, если представляется нами как компонента векторного марковского процесса, то, как увидим позже, можно отыскать дифференциальное уравнение для условного среднего, которое формально дает явное решение рассматриваемой задачи. Однако такой подход к решению задачи требует дополнительных исходных сведений и аппарата, которые еще не изложены, и поэтому мы не обращаемся к нему до гл. 2 второго тома. В случае критерия максимума, апостериорной вероятности мы приходим к интегральному уравнению, решением которого является оценка по максимуму апостериорной вероятности. Это уравнение позволяет дать простую физическую интерпретацию приемника. Оценка по максимуму апостериорной вероятности, как будет показано, является асимптотически эффективной. Поскольку постановка вопроса при оценке по максимуму апостериорной вероятности более тесно связана с предшествующим изложением, то в дальнейшем мы будем придерживаться этого критерия.

Чтобы облегчить решение задачи оценки непрерывного сигнала, вспомним из гл. 4 некоторые полезные сведения об оценке параметров.

В (4.464) и (4.465) были получены интегральные уравнения, которые определяют оптимальные оценки ряда параметров. Повторим этот

результат. Если независимые нормальные случайные величины с нулевыми средними, которые мы представляем вектором а, то оценки по максимуму апостериорной вероятности даются решением системы уравнений

где

a принятое колебание имеет вид

Теперь применим полученный результат к решению нашей задачи. Из материала гл. 3 известно, что сообщение можно представить в виде ортонормированного разложения

где решения интегрального уравнения

а

— независимые нормальные случайные величины:

и

Рассмотрим теперь подкласс процессов, которые могут быть представлены первыми К членами ортонормированного разложения. Таким образом,

Наша задача заключается в том, чтобы показать, в какой мере задача оценки в (21) тождественна с уже решенной задачей оценки множества К независимых параметров.

Рис. 5.4. Эквивалентность представления сигналов посредством функций времени и посредством параметров.

Полагая затем получим требуемый результат. Простой способ убедиться в том, что указанные задачи идентичны, иллюстрируется рис. 5.4, а. Если иметь в виду только модулятор, то передаваемый сигнал логично записать в виде

Группируя элементы, как показано на рис. 5.4, б, можно обоснованно записать выход как Совершенно ясно, что обе формы записи

являются эквивалентными:

Определим оценку по максимуму апостериорной вероятности как

Видно, что является интервальной оценкой. Другими словами, мы оцениваем сигнал на всем интервале а не его значение в какой-либо момент времени в пределах указанного интервала. Для отыскания оценок коэффициентов можно использовать (11). Из (22) и (23) следует, что

где последнее равенство вытекает из (21). Из (11) имеем

Подставляя (26) в (24), получим

или

При такой форме записи теперь легко положить Согласно теореме Мерсера имеем

Теперь введем в рассмотрение

Результирующее уравнение имеет вид

где

и

Уравнения (31) — (33) определяют оценку сигнала по максимуму апостериорной вероятности. Эти уравнения и их обобщения образуют основу для нашего дальнейшего изучения теории аналоговой модуляции. В частном случае, когда аддитивный шум является белым, можно получить гораздо более простой результат. Если

то

Подставив (35) в (32) и (33), получим

и

Подставив (36) и (37) в (31), имеем

Теперь оценка определяется одним нелинейным интегральным уравнением.

В случае оценки параметра мы видели, что было полезным интерпретировать интегральное уравнение, определяющее собой оценку по максимуму апостериорной вероятности, некоторой блок-схемой. Такое истолкование оказывается еще более целесообразным в данном случае. В качестве иллюстрации рассмотрим два простых примера.

Пример Предположим, что

В этом случае пригодно (38). В результате подстановки в (38), имеем

Нетрудно усмотреть, что это просто свертка выражения, заключенного в фигурные скобки, при помощи линейного фильтра, импульсная функция которого есть Поэтому мы можем наглядно представить себе (42) в виде блок-схемы рис. 5.5. Заметим, что указанный линейный фильтр является нереализуемым.

Рис. 5.5. Блок-схема нереализуемой системы для случая белого шума.

Следует подчеркнуть, что приведенная блок-схема — всего лишь наглядное пособие в идейном осмысливании (42). Она ни в коей мере не может служить практическим решением (в представленном виде) нелинейного интегрального уравнения, поскольку нельзя построить нереализуемый фильтр. Одна из проблем, которой мы посвятим наше внимание в последующих главах, — это отыскание практической аппроксимации упомянутой блок-схемы.

Вторым простым примером может служить случай небелого шума. Пример 2. Предположим, что

Из (43) и (45) следует, что

Как и в примере 1, можно интерпретировать интегралы (31), (32) и (33) как блок-схему, показанную на рис. 5.6. Здесь нереализуемый фильтр с постоянными во времени параметрами.

Рис. 5.6. Блок-схема нереализуемой системы Для случая небелого шума.

Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, вспомним, что мы сделали предположение о том, что модулятор является безынерционным звеном. Это допущение чрезмерно ограничивающее. Как указывалось в § 5.1, это допущение исключает такие распространенные методы модуляции, как, например, ЧМ. Пока еще вывод свеж в нашей памяти, его можно видоизменить с тем, чтобы снять данное ограничение.