4.3. Обнаружение и оценка на фоне небелого гауссова шума

Представляет интерес рассмотреть ряд ситуаций, в которых может иметь место небелая гауссова помеха.

1. Между собственно источником шума и демодулирующей частью приемника находятся элементы как, например, антенна и высокочастотные фильтры, которые придают спектру шума форму своей частотной характеристики.

2. Помимо полезного сигнала, в приемнике могут присутствовать мешающие сигналы, которые можно рассматривать как гауссовы процессы. В радио- и гидролокации мешающим сигналом являются отражения от целей.

Исходя из этого, сформулируем и решим задачу обнаружения и оценки. Как уже было показано в предыдущем параграфе, между обнаружением и оценкой существует тесная связь. По существу решение задачи в обоих случаях включает один и тот же момент — построение

ние отношения (функции) правдоподобия. Рассмотрим подробно простой бинарный случай, а затем укажем, как полученные результаты распространяются на другие интересующие нас случаи. Прежде всего необходимо задаться моделью.

При наличии «окрашенной» помехи необходимо проявлять большую осторожность в отношении модели.

Предполагается, что передаваемый сигнал по гипотезе 1 равен

Заметим, что определен на всей оси времени. В среде распространения сигнал подвергается воздействию аддитивного гауссова шума Принятое колебание наблюдается на интервале Таким образом

Иногда бывает равным нулю, Однако, в общем случае будем считать, что имеют произвольные значения. В частности, мы будем часто исследовать задачу, когда Возникает вопрос, зачем наблюдать принимаемое колебание, когда сигнальная компонента в смеси равна нулю? Это объясняется тем, что шум вне интервала коррелирован с шумом внутри интервала, и чем больше данных о шуме в пределах интервала имеется в нашем распоряжении, тем успешнее можно с ним бороться и тем значительнее можно улучшить достоверность приема. Для пояснения этой мысли можно использовать простейший пример.

Пример. Пусть

и

где нормальная случайная величина. Решение о том, какая гипотеза является истинной, следует из выражения

Если

Ясно, что решения могут быть безошибочными. Здесь мы использовали расширенный интервал для оценки шума внутри интервала, на котором сигнал был отличен от нуля. К сожалению, реальная ситуация не бывает столь простой, однако идея использования удлиненного интервала наблюдения подводит к решению задач, более близких к реальным.

Прежде всего целесообразно полагать, что шум всегда содержит независимую белую компоненту, так что

где компонента коррелированного (окрашенного, небелого) шума. Тогда

Предположим, что средний квадрат имеет конечное значение, для всех так что функция, интегрируемая в квадрате на интервале

Допущение о белом шуме включено здесь по двум соображениям.

1. Физическая причина: независимо от используемого диапазона частот уровень помех будет отличным от нуля. Продление этого уровня до бесконечности есть только вопрос удобства.

2. Математическая причина выявится логичным образом по ходу изложения. Компонента белого шума позволит гарантировать, что наши операции будут иметь смысл. Существуют и другие пути достижения этой цели, но способ, основанный на допущении в модели белого шума, является простейшим.

Можно указать следующие логичные подходы к решению задачи с небелым шумом.

1. Выбираем такие координаты для ортонормированного разложения чтобы коэффициенты были статистически независимыми. Это дает возможность осуществлять построение отношения правдоподобия прямым методом. Как выполнять эту процедуру, известно из материалов гл. 3.

2. Обрабатываем с целью получения достаточной статистики, а затем используем ее для выполнения операции обнаружения.

3. Выполняем предварительную обработку с целью преобразования данной задачи в задачу с белым гауссовым шумом, а затем используем соответствующее решение, полученное в предыдущем параграфе. Очевидно, что если предварительная обработка обратима, то она может не оказывать никакого влияния на помехоустойчивость системы. Ввиду того, что идея обратимости используется нами неоднократно, целесообразно остановиться хотя бы на простом ее доказательстве.

Обратимость. Требуемый результат легко продемонстрировать в общей постановке задачи. На рис. 4.36, а показана система, которая осуществляет над такие операции, чтобы на выходе получить оптимальную величину в соответствии с некоторым желательным критерием (интересующая нас задача может быть связана с обнаружением или оценкой) В системе 2, изображенной на рис. 4.36 б, над сначала осуществляется обратимая операция с целью получения Затем мы строим систему, которая будет выполнять над такую операцию, чтобы получить оптимальный выход в соответствии с тем же критерием, что и в системе 1. Мы утверждаем, что помехоустойчивость обеих систем одинакова. Очевидно, система 2 не может обладать более высокой помехоустойчивостью, чем система 1, так как это противоречило бы нашему утверждению о том, что система 1 осуществляет оптимальную обработку Теперь

покажем, что система 2 не может быть хуже, чем система 1. Допустим, что система 2 хуже системы 1. Если бы это было так, то можно было бы построить систему, показанную на рис. 4.36, в, которая осуществляет над операцию, обратную с целью получения а затем пропускает через систему 1. Такая совокупная система будет работать так же хорошо, как система 1 (они идентичны по входу и выходу). Так как результат рис. 4.36, в получается путем операции над он не может быть лучше, чем в системе 2, иначе это будет противоречить утверждению о том, что вторая операция в системе 2 является оптимальной. Поэтому система 2 не может быть хуже, чем система 1.

Рис. 4.36. Доказательство обратимости: а — система 1; б - система 2; в — система 3.

Следовательно, для облегчения решения задачи можно вводить любую обратимую операцию. Отметим, что вопрос линейности здесь не имеет значения, важно только, чтобы существовала обратная операция. Условие обратимости является достаточным, но не необходимым. (Это очевидно из рассмотрения достаточной статистики в гл. 2).

Вернемся теперь к интересующей нас проблеме. Первые два из указанных методов сопряжены с гораздо меньшим объемом работы и, кроме этого, позволяют довольно легко переходить к более общим случаям. Однако третий метод, основывающийся на использовании обратимости операций, представляется интуитивно более привлекательным, поэтому мы рассмотрим его первым.