2.3. Случай М гипотез

Следующим случаем, представляющим для нас интерес, является ситуация, когда необходимо выбрать одну из гипотез. В простом испытании двух гипотез имелись две выходные величины источника, каждая из которых соответствовала одной гипотезе. В простом испытании гипотез имеется выходных величин источника, каждая из которых соответствует одной из гипотез. Как и ранее, предполагается, что принятие решения обязательно.

Таким образом, имеется альтернатив, которые могут иметь место всякий раз, когда проводится эксперимент. Согласно критерию Байеса каждой из этих альтернатив приписывают некоторую стоимость и, полагая, что задана система априорных вероятностей минимизируют риск. Обобщение критерия Неймана — Пирсона на случай гипотез также возможно. Ввиду того, что им на практике пользуются не столь широко, в последующем изложении мы рассмотрим только критерий Байеса.

Критерий Байеса. Для отыскания байесовского критерия обозначим стоимость каждого образа действия через Первый символ подстрочного индекса означает, что выбрана гипотеза. Второй символ означает, что истинной является гипотеза. Обозначим область пространства наблюдений, в которой мы выбираем через априорные вероятности — через Модель изображена на рис. 2.13. Выражение для риска записывается виде

Чтобы найти оптимальный критерий Байеса, будем просто изменять с целью минимизации Я, что является непосредственным

Рис. 2.13. Задача с гипотезами.

развитием метода, используемого в бинарном случае. Ради простоты обозначений в основном тексте рассмотрим только случай

Замечая, что так как эти области являются непересекающимися, получаем

Это выражение сводится к

Как и ранее, первые три члена представляют фиксированную стоимость, а интегралы — переменную стоимость, которая зависит от выбора Вполне понятно, что каждое мы ставим в соответствие той области пространства, в которой значение подынтегральной функции является наименьшим. Обозначая указанные

подынтегральные функции через получаем следующее правило:

Можно записать отношения правдоподобия, определив

Используя (102) в (100) и (101), имеем

Видно, что правила решения соответствуют трем линиям в плоскости Нетрудно показать, что эти линии пересекаются в одной общей точке, и, следовательно, однозначно определяют три области решений, как показано на рис. 2.14.

Для трехальтернативной задачи пространство решений является двумерным. Легко убедиться, что гипотез всегда приводят к пространству решений, имеющему не более чем измерений.

Рис. 2.14. Пространство решений.

Несколько частных случаев будут полезны при последующем изложении.

Первый случай соответствует условию

Эти равенства означают, что любая ошибка имеет равную значимость. Из (98) следует, что это соответствует условию минимизации полной вероятности ошибки.

Подставляя (106) в (103) — (105), получаем

Области решений в плоскости показаны на рис. 2.15, а. В этом частном случае можно непосредственно перейти к плоскости Соответствующие уравнения имеют вид

Выражения (107) и (108) адекватны, однако они не позволяют уяснить одну существенную интерпретацию устройства обработки. Для выяснения этого необходимо произвести незначительное преобразование.

Рис. 2.15. Пространства решений.

Подставляя (102) в (103) — (105) и умножая обе части всех неравенств на получаем

Из (109) видно, что эквивалентный критерий заключается в вычислении апостериорных вероятностей и выборе наибольшей из них. Это достигается просто путем деления обеих частей каждого неравенства на и исследования полученного критерия. По этой причине устройство обработки, реализующее критерий минимальной вероятности ошибки, часто называют вычислителем максимальной апостериорной вероятности. Обобщение на случай гйпотез является очевидным.

В следующих двух случаях мы имеем дело с вырожденными критериями. Результаты обоих случаев будут использоваться позднее в различных прикладных вопросах. Представляет интерес вырожденный случай, когда мы объединяем Тогда

Ради простоты положим

и

Тогда (103) и (104) сводятся к

а (105) превращается в тождество.

Области решений изображены на рис. 2.16. Поскольку мы совсем исключили стоимостный эффект принятия решения (выбора между и то задача сведена нами к бинарной.

Рис. 2.16. Пространство решений.

Рассмотрим далее метод фиктивной гипотезы. Сущность метода иллюстрируется простым примером.

Реальная задача имеет две гипотезы и , но иногда мы можем упростить вычисления введением фиктивной гипотезы вероятность реализации которой равна нулю. Положим

и

Если подставить эти значения в (103) — (105), то из (103) и следует, что мы всегда выбираем либо либо и критерий сводится к

Обращаясь к (12) и вспоминая определение мы убеждаемся, что полученный результат является точно таким, какой и следовало ожидать. Достаточно только поделить обе части (12) на На первый взгляд этот метод кажется абсурдным, однако он оказывается полезным, когда отношением

пользоваться затруднительно, а отношения можно упростить соответствующим выбором

В данном параграфе изложены основные результаты, необходимые для решения многоальтернативных задач. Мы не рассматривали каких-либо конкретных примеров, поскольку подробности, связанные с построением отношений правдоподобия, в этом случае не отличаются от деталей бинарной ситуации. Типичные примеры приводятся в качестве задач вне основного текста. Следует подчеркнуть ряд важных моментов.

1. Минимальная размерность пространства решений не превышает Границами областей решений являются гиперплоскости в пространстве

2. Оптимальный критерий отыскивается простым и непосредственным способом. Однако при рассмотрении конкретных примеров мы убедимся, что вычислить вероятности ошибок часто бывает довольно трудно.

3. Особый интерес представляет критерий минимальной полной вероятности ошибок. В этом случае мы вычисляем апостериорную вероятность каждой гипотезы и выбираем ту гипотезу, для которой эта вероятность наибольшая.

Нам представится возможность оценить эти выводы более полно при рассмотрении различных приложений:

Двумя изложенными параграфами завершается наше обсуждение задачи испытаний простых гипотез. Заслуживающим внимания случаем, который нами еще не рассмотрен, является ситуация, когда несколько выходных величин источника комбинируются так, что дают основание для единой гипотезы. Для изучения этой задачи обнаружения нам понадобятся некоторые идеи теории оценок. Поэтому мы прервем изложение задачи испытания сложной гипотезы до § 2.5 и займемся рассмотрением задачи отыскания оценок.