2. Классическая теория обнаружения и оценок

2.1. Введение

В данной главе подробно излагаются основные идеи классической теории обнаружения и оценок. Прежде всего дадим определения различным терминам.

Рис. 2.1 иллюстрирует основные компоненты простейшей задачи статистической теории решений. Первым элементом является источник, который создает некоторую выходную величину. В простейшем случае она представляет собой результат выбора из двух возможных значений.

Назовем их гипотезами и в случае двух возможных гипотез обозначим через и В более общем случае выходная величина может принимать одно из значений — гипотез, которые обозначим через Ни Некоторые типичные механизмы источников перечислены ниже.

1. Цифровая система связи; передача информации в ней осуществляется посылкой единиц и нулей. Когда посылается «единица», мы ставим этому в соответствиие Ни а когда посылается «нуль» —

Рис. 2.1. Элементы задачи теории обнаружения.

2. Радиолокационная система; мы производим наблюдение по определенному азимуту и на определенной дальности, пытаясь установить, присутствует ли цель; в этом случае соответствует наличию цели, а — ее отсутствию.

3. Задача медицинского диагноза; при установлении диагноза по электрокардиограмме может соответствовать тому, что у пациента был сердечный приступ, а тому, что такового не было.

4. Задача опознавания (классификации) говорящего; допустим мы знаем, что говорящий — немец, англичанин или американец и, кроме

того, либо мужчина, либо женщина. Таким образом, имеется шесть возможных гипотез.

Во всех представляющих интерес случаях мы не знаем, какая именно гипотеза является истинной.

Вторым элементом задачи теории решений является вероятностный механизм перехода и третьим — пространство наблюдений. Механизм перехода можно рассматривать как некое устройство, которое знает, какая гипотеза является истинной.

Рис. 2.2. Простая задача на принятие решения: а — модель; б - плотности вероятности.

Основываясь на этом знании, оно генерирует некоторую точку в пространстве наблюдений в соответствии с некоторым вероятностным законом.

Эти представления иллюстрируются простым примером, приведенным на рис. 2.2. Когда справедлива гипотеза источник генерирует когда верна гипотеза источник генерирует выходной величине источника добавляется независимая дискретная случайная величина , плотность вероятности которой показана на рис. 2.2, б. Сумма выходной величины источника и величины и есть наблюдаемая величина

При двух гипотезах имеем

Распределения вероятностей величины по двум упомянутым гипотезам представлены на рис. 2.2, б. Пространство наблюдений является одномерным, так как любое значение выходной величины можно представить точкой на прямой линии.

Рис. 2.3. Двумерная задача: а — модель; б - плотность вероятности.

Весьма схожий пример показан на рис. 2.3, а, где источник генерирует последовательно два числа. Случайная величина добавляется к первому числу, а независимая от нее случайная величина ко второму.

Таким образом,

Совместное распределение вероятностей величин при условии, что истинна гипотеза изображено на рис. 2.3, б. Пространство наблюдения является в этом случае двумерным и результат любого наблюдения может быть представлен некоторой точкой на плоскости.

В данной главе мы ограничиваемся рассмотрением задач, в которых пространство наблюдений имеет конечное число измерений. Другими словами, результаты наблюдений состоят из ряда чисел и

могут был? представлены некоторой точкой -мерного пространства. Задачи этого класса исследовались статистиками в течение многих лет. По этой причине мы называем их классическими задачами теории решений.

Четвертым элементом задачи обнаружения является правило решения. После наблюдения исхода в пространстве наблюдений мы пытаемся установить, какая гипотеза была истинной, и для выполнения этой процедуры вводим правило решения, согласно которому каждая точка относится к одной из гипотез. Выбор разумных правил решения зависит от ряда факторов, которые будут подробно рассмотрены позднее. В процессе изучения курса мы покажем условия взаимного соответствия этих четырех элементов в рамках общей задачи теории решений (задачи испытания гипотез).

Классическая задача оценок тесно связана с задачей обнаружения. Подробно о ней будет сказано позднее.

Построение главы. Материал этой главы организован следующим образом. В § 2.2 излагается бинарная задача проверки гипотез. Затем в § 2.3 — результаты § 2.2 распространяются на случай гипотез. В § 2.4 развивается классическая теория оценок.

Задачи, с которыми мы встречаемся в § 2.2 и 2.3, характеризуются тем, что каждое значение выходной величины источника соответствует своей гипотезе. В § 2.5 исследуется задача проверки сложной гипотезы. В этом случае несколько значений выходной величины источника связаны между собой — так, что они соответствую одной гипотезе.

Все построения § 2.5 сопряжены с произвольными вероятностными механизмами перехода. В § 2.6 подробно рассматривается специальный класс задач, которые будут полезны при последующем изложении. Эгот класс мы называем общим гауссовым.

Во многих практических важных случаях можно вывести «оптимальное» правило решения в соответствии с некоторым критерием, но невозможно оценить, насколько хорошо будет работать данная схема испытания. В § 2.7 установлены границы (пределы) и выведены приближенные выражения для вероятности ошибок, которые понадобятся при изложении ряда последующих глав.

Наконец, в § 2.8 подытожены полученные в гл. 2 езультаты и указаны некоторое нерассмотренные вопросы.