6.5. Фундаментальная роль оптимального линейного фильтра

Поскольку были подробно подведены итоги по различным параграфам, то нет необходимости повторять их в общих итогах главы. Вместо этого обсудим кратко три области, где методы, развитые в шестой главе, имеют большое значение.

Линейные системы. Мы подошли к данному вопросу, показав, что для линейных методов модуляции интервальная оценка сообщения по максимуму апостериорной плотности вероятности находится путем обработки посредством линейной системы. Для рассмотрения точечных оценок мы прибегли к методу, которым ранее не пользовались, а именно: потребовали, чтобы устройство обработки было линейной системой, и отыскивали наилучшую из возможных систем в этом классе. Мы убедились, что если наложить на структуру подобное ограничение, то имеют значение только вторые моменты процессов. Это как раз пример того типа, который упоминался в гл. 1, когда бывает достаточно частичного задания ввиду того, что используется структурный подход. Мы тогда завершили изложение, показав, что линейная система является наилучшим возможным устройством обработки во всех случаях, когда справедливо допущение о гауссовости процессов. Поэтому все результаты, полученные в шестой главе, играют двоякую роль. Они соответствуют оптимальным устройствам обработки для рассмотренных критериев при соблюдении условия гауссовости процессов и вместе с тем они соответствуют наилучшим линейным алгоритмам обработки для любых случайных процессов.

Методы этой главы играют фундаментальную роль и в двух других областях.

Нелинейные системы. В гл. 2 второго тома будут изложены вопросы синтеза оптимальных приемников для нелинейных систем

модуляции. Как можно полагать, сами эти приемники являются нелинейными системами. Будет показано, что оптимальные линейные фильтры, синтезированные в данной главе, можно рассматривать как компоненты общей нелинейной системы. Мы убедимся также, что модель системы с точки зрения ее влияния на сообщение во многих случаях можно считать линейной. В этих случаях результаты шестой главы оказываются непосредственно применимыми. Наконец, как показано в гл. 5, ошибка демодуляции в нелинейной системе может ограничиваться ошибкой, достижимой в некоторой родственной линейной системе.

Обнаружение случайных процессов. В гл. 3 второго тома мы вновь обратимся к задаче обнаружения и оценки, однако на основе более общей модели. Будет показано, что рассмотренные нами линейные фильтры являются компонентами оптимального обнаружителя (или устройства оценки).

Мы покажем, почему в этих двух областях следует ожидать наличия оптимального линейного фильтра. После завершения нашего изложения фундаментальное значение оптимальных линейных фильтров в различных и далеко отстоящих друг от друга областях станет очевидным.