6.3.1. Представление линейных систем посредством дифференциальных уравнений и генерация случайных процессов

Ранее мы характеризовали линейные системы при помощи импульсной характеристики [или просто в случае систем с постоянными во времени параметрами]. Отличительной особенностью такого описания является то, что входной сигнал считается известным на интервале — Часто этот метод описания оказывается наиболее удобным. Многие системы могут быть представлены и другим методом — посредством дифференциального уравнения, связывающего входной сигнал с выходным. Именно этим методом обычно пользуются при изложении вводных глав теории линейных систем. Импульсная характеристика есть просто решение дифференциального уравнения когда входным сигналом служит импульс в момент времени и.

Рассмотрим на простом примере три основные идеи, существенные с точки зрения описания систем посредством дифференциальных уравнений.

Первая идея связана с начальными условиями и переменными состояния при рассмотрении динамических систем. Если требуется найти выходной сигнал на некотором интервале то необходимо знать не только входной сигнал на этом интервале, но также и определенное число начальных условий, которых должно быть достаточно для характеристики того, как именно любой из предшествующих входных сигналов влияет на выходной сигнал системы на интервале

Мы определяем состояние системы как минимальное количество информации относительно воздействий предыдущих сигналов на входе системы, необходимое для полного описания выходного сигнала при Переменные величины, которые содержат эту информацию, есть переменные состояния [24]. Должно быть достаточное число состояний, которым можно поставить в соответствие каждую пару (вход—выход) сигналов. При строгой математической формулировке из этих допущений следует, что если заданы состояние системы в момент времени и входной сигнал на интервале от до то можно найти как выходной сигнал, так и состояние системы в момент времени Заметим, что данное определение исходит из того, что интересующие нас динамические системы являются детерминированными и реализуемыми (входные сигналы, относящиеся к будущему времени, не могут оказывать влияние на выходной сигнал). Если состояние системы можно описать конечномерным вектором, то такая система называется конечномерной динамической системой. В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением конечномерных систем.

Проиллюстрируем это положение простым примером.

Пример 1. Рассмотрим цепочку изображенную на рис. 6.25. Выходное напряжение связано с входным напряжением дифференциальным уравнением

Чтобы найти выходное напряжение на интервале необходимо знать а также напряжение на конденсаторе в момент времени Таким образом, подходящей переменной состояния является

Вторая идея сводится к реализации (или моделированию) дифференциального уравнения при помощи аналогового вычислителя. Для наших целей его можно представить себе как систему, состоящую из интеграторов, цепей с переменными во времени коэффициентами передачи, сумматоров и нелинейных безынерционных устройств, объединенных таким образом, чтобы воспроизвести требуемое соотношение между входным и выходным сигналами.

Рис. 6.25. RС-цепь.

Для примера простой цепи реализация при помощи аналогового вычислителя показана на рис. 6.26. Начальное условие выступает здесь в качестве смещения на выходе интегратора. Смещенное выходное напряжение интегратора является переменной состояния системы.

Третья идея относится к вопросу генерации случайного процесса. Если есть случайный процесс или есть случайная величина (или они оба являются случайными), то есть также случайный процесс.

Рис. 6.26. Реализация фильтра в виде аналогового вычислителя.

Используя систему, описываемую (186), можно генерировать как нестационарные, так и стационарные случайные процессы. Приведем пример нестационарного процесса. Пусть есть нормальная случайная величина Тогда есть нормальный случайный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией

В качестве примера стационарного процесса рассмотрим случай, когда является выборочной функцией процесса типа белого шума со

спектральной плотностью Если процесс на входе начинается при то на выходе имеем стационарный процесс со спектром

Изучим теперь эти идеи в более общем контексте. Рассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнением вида

где производная от Напомним, что для определения решения уравнения порядка необходимо знать значения в момент времени Это замечание будет ключом к отысканию представления посредством переменных состояния для данной системы. Первым шагом при отыскании реализации в форме аналогового вычислителя является моделирование членов левой части этого уравнения. Это иллюстрируется рис. 6.27, а. Следующий шаг заключается в таком взаимном соединении этих различных величин, чтобы указанное уравнение удовлетворялось. Дифференциальное уравнение определяет входное напряжение на сумматоре и приводит к блок-схеме, изображенной на рис. 6.27, б. Наконец, вводим начальные условия, задавая определенные смещения на выходах интегратора, и получаем схему, показанную на рис. 6.27, в. Переменные состояния есть смещенные напряжения на выходе интегратора.

Часто бывает проще работать с векторным дифференциальным уравнением первого порядка, чем со скалярным дифференциальным уравнением порядка. Для (190) преобразование не вызывает затруднений.

Пусть

Обозначив систему через матрицу-столбец, замечаем, что скалярному уравнению порядка эквивалентно следующее -мерное векторное уравнение первого порядка:

(кликните для просмотра скана)

Вектор называется вектором состояния для данной линейной системы, уравнением состояния системы. Заметим, что выбранный нами вектор состояния не является единственно возможным. Любое несингулярное линейное преобразование вектора дает другой вектор состояния. Выходное напряжение связано с вектором состояния уравнением

где С есть матрица

Уравнение (195) называется выходным уравнением системы. Два уравнения — (192) и (195) — полностью определяют систему.

Точно так же, как и в первом примере, можно моделировать нестационарные и стационарные случайные процессы, используя систему, описываемую уравнениями (192) и (195). Для стационарных процессов, как следует из (190), мы можем моделировать любой процесс с рациональным спектром вида

считая процессом типа белого шума и . В этом случае вектор состояния есть выборочная функция векторного случайного процесса, одна из компонент этого процесса.

Следующим более общим дифференциальным уравнением является

Прежде всего найдем реализацию в виде аналогового вычислителя, которая соответствует данному дифференциальному уравнению. Проиллюстрируем возможный метод такой реализации путем рассмотрения простого примера.

Пример Рассмотрим случай, когда при нулевых начальных условиях. Тогда (198) примет вид

Первое замечение, которое можно сделать, заключается в том, что мы хотим избежать фактического дифференцирования так как во многих представляющих интерес случаях является процессом типа белого шума. Сравнивая порядок высших производных в обеих частях (199), видим, что избежать дифференцирования можно, если предположить, что существует в виде составной части входного напряжения первого интегратора (рис. 6.28) и исследовать результаты подобного допущения. Для этого перегруппируем члены следующим образом:

Результат показан на рис. 6.28. Определяя переменные состояния как выходные напряжения интеграторов, получим

и

Используя (200) и (201), будем иметь

Рис. 6.28. Реализация фильтра в виде аналогового вычислителя.

Мы можем записать (202) как векторное уравнение состояния, введя

и

Тогда

Выходное уравнение будет иметь вид

Уравнения (204а) и (204б) в сочетании с начальным условием характеризуют систему полностью.

Несложно распространить этот частный метод на случай уравнения порядка (см. задачу 6.3.1). Назовем это канонической реализацией № 1. Наш выбор переменных состояния был несколько произвольным. Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим пример 2А повторно и разовьем другое представление состояния системы.

Пример 2Б. И на этот раз

Прежде всего вычертим два интегратора и две ветви, обусловленные величинами Данная частичная система изображена на рис. 6.29, а. Теперь необходимо ввести обратную связь и задать переменные состояния таким образом, чтобы элементы матриц были равны одному из коэффициентов исходного дифференциального уравнения: единице или нулю.

Рис. 6,29. Аналоговая реализация уравнения (205).

Из рис. 6.29, а видно, что это легко сделать, если по ветви обратной связи подать взвешенное значение в каждую точку суммирования, как показано на рис. 6.29, б. Уравнения для переменных состояния имеют вид

Матрицы равны соответственно

Отсюда видно, что система обладает требуемым свойством.

Распространение на случай исходного дифференциального уравнения порядка не вызывает осложнений. Результирующая реализация показана на рис. 6.30. Уравнения для переменных состояния имеют вид

Рис. 6.30. Каноническая реализация № 2: переменные состояния.

Матрица векторного дифференциального уравнения равна

и

Будем называть эту реализацию канонической реализацией №2.

Остается еще рассмотреть третью полезную реализацию. Передаточная функция, соответствующая (198), равна

Рис. 6.31. Каноническая реализация № 3: а — передаточная функция; б - реализация в виде аналогового вычислителя.

Это выражение можно разложить на неприводимые многочлены

где — корни знаменателя, которые считаются некратными, соответствующие остатки. Система показана в форме преобразования на рис. 6.31, а. Очевидно, можно идентифицировать выходное напряжение каждой из субсистем как переменную состояния и реализовать

всю систему, как показано на рис. 6.31, б. Матрица -диагональная.

а элементы матрицы суть остатки разложения

Теперь выходное напряжение является суммой переменных состояния

где

Будем называть эту реализацию канонической реализацией № 3. (Реализация для случая кратных корней выводится в задаче 6.3.2.)

Каноническая реализация № 3 требует разложения на неприводимые многочлены для отыскания матриц Заметим, что уравнение состояния включает независимых скалярных уравнений первого порядка

Решение этой системы гораздо проще, чем решение векторного уравнения. С другой стороны, отыскание разложения на неприводимые многочлены может потребовать некоторых выкладок, тогда как канонические реализации № 1 и 2 можно получить путем простого анализа формы записи.

Мы рассмотрели три различных метода реализации системы, описываемой дифференциальным уравнением порядка с постоянными коэффициентами. В каждом случае вектор состояния был другой. Матрицы также были различны, но нетрудно доказать, что они имеют одинаковые собственные значения. Следует подчеркнуть, что несмотря на то, что мы именуем эти реализации каноническими, некоторые другие реализации при решении конкретных задач могут оказаться более желательными. Любое несингулярное линейное преобразование вектора состояния ведет к новому представлению состояния.

Теперь мы располагаем возможностью моделирования любого стационарного случайного процесса с рациональным спектром и конечной дисперсией путем подачи на вход любой из рассмотренных

схемных реализаций белого шума. Кроме того, можно моделировать широкий класс нестационарных процессов.

До сих пор нами рассматривались вопросы представления линейных систем с постоянными во времени параметрами посредством переменных состояния и соответствующего векторного дифференциального уравнения. Было показано, что это может соответствовать физической реализации в виде аналогового вычислителя, позволяющего моделировать широкий класс случайных процессов.

Далее нам следует рассмотреть системы с изменяющимися во времени параметрами и многоканальные системы со многими входами и выходами.

Для систем с изменяющимися во времени параметрами рассмотрим векторные уравнения

в качестве основного представления. Матрицы могут быть функциями времени. Используя в качестве входного воздействия белый шум

можно моделировать некоторые нестационарные случайные процессы. Следует заметить, что нестационарный процесс может появиться даже тогда, когда матрицы постоянны, а детерминированная величина. Хорошим примером может служить винеровский процесс, определенный на ст. р. 231 гл. 3.

Пример 3. Здесь и (220) обращается в

Полагая, что получаем винеровский процесс.

Другие конкретные примеры систем с изменяющимися во времени параметрами рассматриваются в последующих параграфах и в задачах.

Целесообразность изучения многоканальных систем вытекает непосредственно из наших рассуждений в гл. 3, 4 и 5. Рассмотрим простую систему рис. 6.32, генерирующую два выходных напряжения и Предполагается, что состояние системы 1 описывается уравнениями

Рис. 6.32. Генерация двух сообщений.

где -мерный вектор состояния. Аналогично, представление состояния системы 2 имеет вид

-мерный вектор состояния. Более удобным способом описания этих двух систем является единая векторная система уравнений с -мерным вектором состояния (рис. 6.32, б):

и

Результирующие дифференциальные уравнения имеют вид

Возбуждающая функция является векторной. Для задачи моделирования сообщения будем предполагать, что возбуждающая функция — белый процесс с матричной ковариационной функцией

где неотрицательно определенная матрица. Блок-схема процесса моделирования показана на рис. 6.33.

Заметим, что в общем случае начальные условия могут быть случайными величинами. Тогда для определения характеристик вторых моментов нам необходимо знать ковариационную функцию в начальный момент времени

и среднее значение Можно также моделировать связанные процессы путем замещения нуль-матриц в (228), (229) или (231) на ненулевые матрицы.

Рис. 6.33. Процесс генерации сообщения.

Следующий этап в нашем обсуждении — рассмотреть решение (233). Начнем со случая однородного уравнения с постоянными во времени коэффициентами. Тогда (233) сводится к

с начальным условием Если скаляры, то решение имеет вид

Для векторного случая можно показать (см., например, [27—30]), что

где определяется бесконечным рядом

Функцию обозначим через Функция называется переходной матрицей состояния системы. Для случая системы с постоянными во времени параметрами можно легко доказать следующие два свойства.

Свойство 11. Переходная матрица состояния удовлетворяет уравнению

или

[Использовать равенство (240) и его производные в обеих частях (239).]

Свойство 12. Начальное условие

вытекает непосредственно из (239). Однородное решение можно выразить через

Решение (242) легко получить, использовав метод обычного преобразования Лапласа. Преобразовав (242), имеем

где единичная матрица появляется из начального условия (243). Перегруппировав члены, получим

или

Переходная матрица состояния имеет вид

Проиллюстрируем этот метод простым примером.

Пример 4. Рассмотрим систему, описываемую уравнениями (206)-(210). Преобразования переходной матрицы имеют вид

Для отыскания произведем обратное преобразование. Ради простоты положим Тогда

Важно отметить, что комплексные собственные частоты, входящие в это решение, определяются знаменателем который является просто определителем матрицы Следовательно, эти частоты являются корнями уравнения

Для случая системы с изменяющимися во времени параметрами основная концепция матрицы переходного состояния сохраняется в силе, однако некоторые из приведенных выше свойств более не соблюдаются. Из скалярного случая нам известно, что будет функцией двух переменных вместо функции всего лишь разности между и

Определение. Переходная матрица состояния определяется как функция двух переменных которая удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальным условием Решение в любой момент времени имеет вид

Аналитическое решение, как правило, трудно получить. Однако в большинстве случаев, когда мы пользуемся переходной матрицей, в аналитическом решении нет необходимости. Обычно нужно только знать, что оно существует и что оно обладает определенными свойствами. В тех случаях, когда трёбуется фактически найти решение, мы будем пользоваться численными методами.

Два свойства можно вывести без затруднений:

и

Для неоднородного случая уравнение имеет вид

Общее решение содержит однородное и частное решения

(подставляем (257) в (256) для проверки того, что оно является решением). Выходное напряжение равно

При изложении материала гл. 4 и 5, а также § 6.1 настоящей главы мы характеризовали линейные системы с изменяющимися во времени параметрами при помощи их импульсной характеристики

Такое задание исходит из того, что входная величина известна на интервале от до Таким образом,

В большинстве представляющих интерес случаев влияние начального условия в (257) не проявляется. Следовательно, мы можем положить его равным нулю и получить

Сравнивая (259) и (260), имеем

Укажем, что три матрицы, входящие в правые части (259) — (261), будут зависеть от представления состояния, которое мы выбираем для системы, но матричная импульсная характеристика является единственной. Как указывалось ранее, данная система является реализуемой. Это обстоятельство отражается наличием 0 в (261).

Для систем с постоянными параметрами

и

В уравнении (262) предполагается, что входная величина имеет преобразование Лапласа. Для стационарного случайного процесса необходимо пользоваться интегральным преобразованием (§ 3.6).

Большая часть наших рассуждений до сих пор была справедливой для произвольной возбуждающей функции Теперь установим некоторые статистические свойства векторных процессов для частного случая, когда является выборочной функцией векторного случайного процесса типа белого шума

Свойство 13. Взаимная корреляция между вектором состояния системы, возбуждаемой белым шумом с нулевым средним, и входной величиной равна

Это разрывная функция, которая равна

Доказательство. Подстановкой (257) в определение (265) получим

Внеся математическое ожидание под знак интеграла и полагая, что начальное состояние не зависит от при будем иметь

и

При это выражение равно нулю. Если а дельта-функция симметрична, так как она является пределом ковариационной функции, то мы берем только половину площади у правой граничной точки интервала. Таким образом,

Используя результат, следующий из (254а), получим выражение, расположенное во второй строке (266).

Если то будем иметь

что соответствует третьей строке (266). Частный случай (270а), которым мы воспользуемся позднее, получается, если положить снизу

Отсюда легко получим выражени для взаимно корреляционной функции выходного вектора и

Свойство 14. Дисперсионная матрица вектора состояния системы

удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальным условием

Заметим, что Доказательство.

Продифференцировав, получим

Второй член есть просто результат перестановки первого. Заметим, что недифференцируема в среднеквадратическом: поэтому нам необходимо быть внимательными при использовании (276).

Подставляя (272) в первый член (276), получим

Используя свойство 13 применительно ко второму члену (277), будем иметь

Использование (278) и его перестановки в (276) дает

что и требовалось доказать.

Мы рассмотрели следующие идеи:

1. Переменные состояния линейной динамической системы.

2. Реализации в форме аналогового вычислителя.

3. Векторные дифференциальные уравнения первого порядка и переходные матрицы состояния.

4. Моделирование случайных процессов.

Дальнейшим нашим шагом будет приложение этих идей к задаче линейной оценки.

Модель наблюдения. Повторно рассмотрим задачу линейной модуляции, описанную в начале главы, в терминах переменных состояния. Основная задача линейной модуляции была проиллюстрирована на рис. 6.1. Ее формулировка через переменные состояния для более простого частного случая дана на рис. 6.34. Сообщение создается путем пропускания через линейную систему, как было показано выше. Таким образом,

и

Ради простоты предполагается, что интересующее нас сообщение является первым компонентом вектора состояния. Затем сообщение умножается на несущее колебание В системе ДБП-АМ колебание является синусоидальным. Мы включаем несущее колебание в линейную систему, вводя величину

Тогда

часто именуется как модуляционная матрица. (В литературе по автоматическому управлению она называется матрицей наблюдений.)

Рис. 6.34. Простой случай линейной модуляции при задании системы посредством переменных состояния.

Колебание передается по каналу с аддитивным белым шумом. Таким образом,

где

Данная модель является чрезмерно ограниченной. Поэтому обобщим ее несколькими различными способами. Две модификации этой модели имеют фундаментальный характер и мы рассмотрим их прежде всего. Другие модификации отложим до § 6.3.4.

Модификация № 1. Коррелированный (небелый) шум. В этом случае помимо белого шума имеется компонента цветного или небелого (коррелированного) шума Предполагается, что коррелированный шум может генерироваться путем возбуждения конечномерной динамической системы белым шумом.

Подстрочный индекс означает сообщение. Уравнение (286) можно записать в виде

если преобразовать вектор состояния сообщения таким образом, чтобы он включал в себя и процесс коррелированного шума. Новый

векторный процесс состоит из двух частей. Одна из них — векторный процесс соответствующий переменным состояния системы, используемым для моделирования модулирующего процесса. Другая — векторный процесс соответствующий переменным состояния системы, моделирующим коррелированный шум. Таким образом,

Если есть -мерный, а -мерный вектор, то -мерный вектор. Модуляционная матрица имеет вид

определяется (286), выбирают так, чтобы

С использованием этих определений мы получаем (287). Здесь уместно привести один простой пример.

Пример. Пусть

где

некоррелированные величины. Для получения представления в виде переменных состояния положим и допустим, что Определим вектор состояния как

Тогда

и

Видно, что матрицы являются диагональными ввиду независимости сообщения и коррелированного шума, а также того факта, что каждый из них имеет лишь один плюс. В общем случае независимых сообщения и шума можно разложить матрицы и их недиагональные миноры будут равны нулю.

Модификация №2. Векторные каналы. Следующий случай, который необходимо учесть, чтобы получить общую модель, — это случай, когда имеется несколько принятых колебаний. Как и следует ожидать, это обобщение не встречает трудностей. Исходя из каналов, имеем векторное уравнение наблюдения

где вектор является -мерным. Проиллюстрируем эту модель примером.

Рис. 6.35. Простая разнесенная система.

Пример. Простая система с разнесением изображена на рис. 6.35. Предположим, что является одномерным процессом. Тогда Модуляционная матрица имеет размерность

Шумы каналов являются белыми нормальными процессами с нулевыми средними, но могут быть коррелированными друг с другом. Эта корреляция может изменяться во времени. Результирующая ковариационная матрица имеет вид

где положительно определенная матрица.

В общем случае является -мерным вектором, а канал — -мерным, так что модуляционная матрица имеет размерность Мы предполагаем, что канальный шум и белый процесс который генерирует сообщение, не коррелированы.

При учете этих двух модификаций наша модель будет достаточно общей и включать большинство интересующих нас случаев. Далее нам необходимо вывести дифференциальное уравнение для оптимальной оценки. Но прежде чем приступить к этой процедуре, дадим сводку основных положений.

Краткая характеристика модели

Считается, что все процессы генерируются (моделируются) путем пропускания белого шума через линейную систему с изменяющимися во времени параметрами. Эти процессы описываются векторным дифференциальным уравнением

где

задается как детерминированный вектор или как случайный вектор с известной статистикой вторых моментов.

Решение (302) можно записать в виде переходной матрицы

Выходной процесс получается в результате линейного преобразования вектора состояния. Он наблюдается после искажений, вносимых аддитивным белым шумом.

Принимаемый сигнал описывается соотношением

Шум измерения является белым и описывается ковариационной матрицей

До сих пор мы обсуждали только свойства вторых моментов случайных процессов, моделируемых путем возбуждения линейных динамических систем посредством белого шума. Очевидно, что если являются совместно нормальными векторными процессами и статистически независимый нормальный случайный вектор, то допущение о гауссовости, сделанное на стр. 546, будет соблюдаться. (Независимость есть лишь вопрос удобства; она необязательна.)

Покажем далее, как можно модифицировать полученные ранее результаты по оптимальной линейной фильтрации с тем, чтобы воспользоваться преимуществом данного метода представления.