4.6. Оценка нескольких параметров

В этом параграфе мы рассмотрим задачу оценки конечного множества параметров Обозначим эти параметры вектором а. Рассмотрим только канал с аддитивным белым шумом. Конечные результаты получим путем комбинирования результатов классической оценки нескольких параметров с результатами § 4.2.

Целесообразность исследования данной задачи обоснована двумя соображениями.

Первое соображение очевидно и заключается в том, что задачи на оценку нескольких параметров встречаются во многих физических ситуациях, представляющих интерес.

Распространенным примером из области радиолокации может служить задача определения дальности и скорости цели путем оценки запаздывания (задержки) и допплеровского сдвига отраженного импульса.

Второе соображение менее очевидно. В гл. 5 будет рассмотрена процедура оценки непрерывного сигнала и мы увидим, что посредством разложения сигнала в ряд можно оценить коэффициенты ряда и использовать их для формирования оценки сигнала. Таким образом, оценивание нескольких параметров служит в качестве метода перехода от оценки одного параметра к оценке сигнала.

4.6.1. Канал с аддитивным белым гауссовым шумом

Совместные оценки по максимуму апостериорной вероятности.

Предположим, что сигнал зависит от значений параметров

Тогда для аддитивного канала принимаемый сигнал можно записать в виде

где

Необходимо выразить апостериорную плотность вероятности через соответствующее множество наблюдаемых величин, которое мы обозначим -мерным вектором Затем мы найдем оценку а,

максимизирующую апостериорную плотность вероятности, и полагаем чтобы получить требуемый результат.

Параметры могут быть взаимосвязанными либо в структуре сигнала, либо в силу своей априорной статистической зависимости. Эту статистическую зависимость можно классифицировать следующим образом:

1. Параметры являются совместно-нормальными.

2. Параметры являются статистически независимыми и нормальными.

3. Параметры являются статистически независимыми, но не нормальными.

4. Параметры не являются ни статистически независимыми, ни совместно-нормальными.

Прежде всего следует отметить, что случай 1 путем преобразований может быть сведен к случаю 2. Напомним, что в гл. 2 было доказано следующее свойство (2.237).

Свойство. Если несингулярное линейное преобразование над а (т. е. то

Известно, что существует несингулярное линейное преобразование, посредством которого любое множество зависимых нормальных величин преобразуется в множество независимых нормальных величин (гл. 2, стр. 110—114). Таким образом, если — зависимые величины, то вместо них можно оценивать Следовательно, предположение о том, что

фактически охватывает случаи 1, 2 и 3. Случай 4, гораздо более сложный в деталях (но не по идее), не имеет значения для последующего изложения и поэтому здесь не рассматривается.

Полагая, что шум является белым и что справедливо соотношение (445), аналогична скалярному случаю приходим к заключению, что оценки по максимуму апостериорной плотности вероятности суть решения следующей системы уравнений:

Если нормальные случайные величины с нулевыми средними и дисперсией то эти уравнения сводятся к простой форме

Полученная система уравнений формулирует систему необходимых условий, которым должны удовлетворять оценки по максимуму апостериорной плотности вероятности. Предполагается, что максимум является внутренним по отношению к разрешенной области изменения и что указанные производные существуют в точке максимума.

Вторым представляющим интерес результатом является граничная матрица. Из § 2.4.3. известно, что прежде всего необходимо найти информационную матрицу. Из уравнения (2.289) следует, что

а для нормальной априорной плотности вероятности

где ковариационная матрица. Выражение (449) аналогично (104) в § 4.2. Поэтому от (449) легко перейти к соотношению

Напомним, что (451) является границей по отношению к корреляционной матрице в том смысле, что

является неотрицательно-определенной. Если апостериорная плотность вероятности гауссова, то

Аналогичный результат получается для несмещенных оценок неслучайных величин, если положить Условия существования эффективной оценки выявляются непосредственно. Равенство будет соблюдаться для параметра лишь тогда и только тогда, когда

Для иллюстрации применения данного результата рассмотрим простой пример.

Пример. Предположим, что одновременно осуществляется амплитудная и частотная модуляция синусоидального колебания с двумя независимыми гауссовыми параметрами . Тогда

Функция Правдоподобия имеет вид

Следовательно,

Так как переменные независимы, матрица является диагональной.

Элементы матрицы равны:

и

Таким образом, матрица также диагональная. Это означает, что

и

Следовательно, можно сделать вывод, что границы оценок параметров а и некоррелированы. Можно показать, что при больших действительные дисперсии стремятся к указанным границам.

Эти результаты можно интерпретировать следующим образом. Если при каждом проведении эксперимента приемнику сообщалось бы значение параметра то качество оценки параметра а по сравнению со случаем, когда приемник должен оценивать не улучшалось бы (в предположении больших

Таким образом, существует два случая, когда мбжет равняться нулю. Если

до взятия математического ожидания, то это означает, что для любого значения А или В частные производные ортогональны. Это условие необходимо для того, чтобы оценки максимального правдоподобия были независимыми. Но даже если левая часть (463) была бы отлична от нуля, то ее значение после взятия математического ожидания может стать равным нулю, что даст независимые оценки по максимуму апостериорной вероятности.

Ряд интересных примеров на оценивание нескольких параметров включен в задачи вне основного текста.

4.6.2. Обобщения результатов

Полученные результаты можно прямым методом обобщить так, чтобы они охватывали и другие представляющие интерес случаи:

1. Неслучайные величины, оценивание по максимуму правдоподобия.

2. Аддитивный коррелированный шум.

3. Каналы со случайной фазой.

4. Релеевские и райсовские каналы.

5. Разнесенный прием.

Некоторые из этих случаев рассматриваются в задачах. Один из них, который будет использоваться в последующем, — случай аддитивного коррелированного шума, рассмотрен в задаче 4.6.7. Конечные результаты получаются путем очевидной модификации уравнения (447), вытекающего из (226)

где