3.6.2. Применение спектрального разложения. Оценка параметров нормального процесса по максимуму апостериорной вероятности

Рассмотрим простую систему, показанную на рис. 3.27:

Предполагается, что сообщение, подлежащее оценке. В терминах интегрального преобразования

Пусть являются выборочными функциями некоррелированных нормальных случайных процессов, имеющих нулевые средние и спектральные плотности соответственно. Так как линейные функционалы нормального процесса, то они также являются нормальными процессами.

Рис. 3.27. Простая система оценки параметра процесса.

Если разбить ось частот на множество непересекающихся интервалов, то величины приращений будут независимыми (рис. 3.28). Рассмотрим теперь один какой-либо интервал длиной Обозначим величины приращений на этом интервале через Ввиду статистической независимости величину каждого приращения можно оценить отдельно, а ввиду коммутативности оценивания по максимуму апостериорной вероятности и по минимуму среднеквадратической ошибки при линейных преобразованиях, это эквивалентно оцениванию сообщения

Рис. 3.28. Интегральные преобразования

Апостериорная вероятность величины при условии, что было принято есть просто

[Это есть не что иное, как формула (141) гл. 2 при так как величина комплексная.]

Поскольку апостериорная плотность является гауссовой, оценки по максимуму апостериорной вероятности и по минимуму среднеквадратической ошибки совпадают. Решение легко можно найти дополнением до полного квадрата и выделением условного среднего. Это дает

Следовательно, оценку по минимуму среднеквадратической ошибки можно получить, если пропустить колебание через линейный фильтр

Итак, допущение нормальности процесса и критерий минимальной среднеквадратической ошибки приводят к линейному фильтру. В модели, описанной в § 3.4.5, мы требовали линейности, но допущения о нормальности не выдвигали. Ясно, что оба фильтра должны быть идентичными. Чтобы убедиться в этом, можно взять предел от выражения для конечного интервала времени. Для частного случая белого шума результат (154) можно несколько видоизменить, приняв во внимание комплексные собственные функции и суммирование в пределах от до В результате получим

Используя (177) и (178), имеем

что соответствует (239).

В большей части наших построений мы рассматриваем конечный интервал времени и используем разложение в ортогональный ряд, развитое в § 3.3. Затем, чтобы охватить случай стационарных процессов на бесконечном интервале, используем асимптотические результаты § 3.4.6. Этот эвристический путь приводит к правильному ответу для бесконечного интервала времени. Строгий подход для случая бесконечного интервала времени потребовал бы применения метода интегрального преобразования, который только что был изложен.

Прежде чем сделать выводы по материалам данной главы, обсудим кратко, как можно результаты § 3.3 распространить на векторные случайные процессы.