6.2.6. Примечания

В этом параграфе обсудим кратко некоторые интересующие нас аспекты линейной обработки, которые обобщают полученные результаты.

Родственные вопросы. Многомерная задача. Хотя векторная задача была сформулирована в § 6.1, мы рассмотрели метод решения только для скалярной задачи. Для случая нереализуемого фильтра переход к векторной задаче тривиален. Для реализуемого случая, когда сообщение или полезный сигнал является вектором, а принимаемое колебание — скаляром, метод решения является очевидной модификацией скалярного метода: Для реализуемого случая, когда принимаемый

сигнал является вектором, метод становится довольно сложным. Винер наметил решение этой задачи в [1], которое также довольно громоздко. При другом подходе входную спектральную матрицу разлагают на множители. Соответствующие методы рассмотрены в [10—19].

Нерациональные спектры. Мы ограничились рассмотрением рациональных спектров. Для нерациональных спектров было указано, что можно пользоваться аппроксимацией в виде рациональных спектров. Непосредственное разложение на множители не всегда возможно.

Можно показать, что необходимое и достаточное условие для разложимости на множители заключается в том, чтобы сходился несобственный интеграл

Здесь спектральная плотность всего принятого колебания. Это условие, называемое критерием Палея-Винера, установлено в [1], где также рассмотрены различные его приложения.

Если это условие не удовлетворяется, то называется детерминированным колебанием. Прилагательное «детерминированный» используется здесь ввиду того, что можно точно предсказать будущее процесса используя линейную обработку данных только истекшей его части. Простой пример детерминированного сигнала дан в задаче 6.2.39.

Оба предельных спектра сообщений в примерах § 6.2.4 были детерминированными. Это означает, что если помеха была бы равна нулю, то можно было бы точно предсказать будущее поведение сообщения. Течение процесса можно легко исследовать, выбирая некоторое произвольное время предсказания (упреждения) а и оцгнивая ошибку предсказания при индексе Для произвольного а среднеквадратическую ошибку предсказания можно сделать меньше любого положительного числа, задаваясь достаточно большим (см. задачу 6.2.41).

Почти во всех случаях интересующие нас спектры будут соответствовать недетерминированным случайным колебаниям. В частности, включение в белого шума гарантирует разложимость спектра.

Чувствительность характеристик к малым отклонениям от модели. В области обнаружения и оценки параметров сигналов была рассмотрена важность исследования вопроса о том, в какой мере характеристики оптимальной системы зависят от разного рода отклонений в тонкой структуре от принятой модели. Очевидно, эта «чувствительность» имеет важное значение также и при линейной модуляции. В любом конкретном случае метод исследования чувствительности результатов является прямым. Ряд представляющих интерес случаев рассмотрен в задачах 6.2.31 — 6.2.33.

В большинстве скалярных задач результаты не зависят от выполнения в модели тех или иных тонких допущений. В векторном случае необходимо проявлять большую осторожность.

Как и ранее, постановка вопроса в общем виде оказывается неконструктивной. Важным моментом, на который вновь следует

обратить внимание, является то, что всегда необходимо проверять устойчивость результатов к незначительным отклонениям от принятой модели.

Окрашенный и белый шум. При попытке оценить сообщение в присутствии помехи, содержащей как белую, так и «цветную» компоненты, мы встречаемся с интересной интерпретацией оптимального фильтра.

Пусть

и

Очевидно, что если бы мы знали то оптимальное устройство обработки имело бы структуру, показанную на рис. 6.23, а. Здесь есть оптимальный фильтр для найденный нами ранее.

Рис. 6.23. Оценка шума.

Но мы не знаем так как это есть выборочная функция случайного процесса. Представляется логичным оценить вычесть оценку из и пропустить результат через фильтр как показано на рис. 6.23, б. Можно показать, что оптимальная система осуществляет именно эту процедуру (см. задачу 6.2.34). (Заметим, что являются совместными оценками.) С аналогичным результатом мы встречались в области теории обнаружения. Оптимальное устройство обработки осуществляет как раз то, что делали бы и мы, если бы помехи были известны точно, только оно использует оценки.

Рис. 6.24. Типичная задача оценки немодулированного процесса.

Линейные операции и фильтры. На рис. 6.1 иллюстрировалась типичная задача оценки. С теми допущениями, которые были введены в настоящем параграфе, она сводится к задаче, показанной на рис. 6.24. Здесь применимы общие результаты (78), (119) и (122). Так как большинство интересующих нас задач соответствует модели, показанной

на рис. 6.24, целесообразно сформулировать наши результаты в такой форме, в которой влияние учитьюалось бы в явном виде. Требуемые соотношения для некоррелированных сообщений и помех имеют вид

и

В случае реализуемого фильтра необходимо использовать (181) при условии, что Простым контрпримером (задача 6.2.38) можно показать, что линейная фильтрация и оптимальные реализуемые устройства оценки в общем не коммутативны. Иначе говоря, не обязательно равна

Этот вывод противоречит результату, полученному для устройств интервальной оценки по максимуму апостериорной плотности. С другой стороны, из сравнения (119) и (182) следует, что линейная фильтрация и оптимальные нереализуемые устройства оценки должны быть коммутативными. Результирующая ошибка в нереализуемом случае при равна

Это выражение является очевидным. Для других см. задачу 6.2.35. Некоторые приложения (183) применительно к задаче предварительной фильтрации обсуждаются в задаче 6.2.36.

Напомним, что мы исходили из допущения, что представляет «разрешенную» в среднеквадратическом смысле операцию. Например, если требуемая операция есть дифференцирование, то мы считали, что является процессом дифференцируемым в среднеквадратическом (см. задачу 6.2.37 как пример возможных затруднений, когда это допущение не справедливо).

Краткие выводы § 6.2. Достаточно подробно была рассмотрена задача линейной обработки стационарных процессов, когда для обработки доступно все бесконечное прошлое процесса. Основные результаты сводятся к следующему.

1. Конструктивное решение данной задачи имеет вид (78):

2. Влияние задержки или предсказания на результирующую ошибку оптимальной линейной системы обработки описывается (1086). Во всех случаях при увеличении задержки наблюдается монотонное улучшение помехоустойчивости. Во многих случаях этот выигрыш оправдывает соответствующее усложнение системы.

3. К помехоустойчивости нереализуемого фильтра можно подойти сколь угодно близко, вводя задержку при обработке. Достоинство концепции нереализуемого фильтра заключается в том, что ответ почти всегда может быть легко получен и он представляет собой нижнюю границу оценки по минимуму среднеквадратической ошибки в любой системе.

4. Выражение для ошибки в замкнутой форме при наличии белого шума имеет вид [см. (152)]:

5. Каноническая структура фильтра для белого шума, изображенная на рис. 6.21, позволяет просто сопоставить сложность оптимального фильтра со сложностью спектров сообщений.

Рассмотрим теперь другой подход к задаче точечной оценки.