4.3.2. Непосредственный вывод на основе разложения Карунена-Лоэва
В этом параграфе рассмотрим более фундаментальный метод. Он не только является более непосредственным для данной конкретной задачи, но и легко распространим на общий случай. Приводимый вывод аналогичен выводу, сделанному на стр. 297—299.
Простота решения задачи обнаружения на фоне белого шума в § 4.2 объясняется тем, что несмотря на выбранный нами ортонормированный ряд, получающиеся наблюдаемые величины 
были условно независимыми.
Из материалов гл. 3 известно, что такой же простоты можно достигнуть, если выбрать ортогональный ряд так, чтобы его ортогональные функции были собственными функциями интегрального уравнения (3.46):
Заметим, что 
являются собственными значениями только процесса коррелированного шума. (Если 
не является положительно определенным, то можно довести ряд до полного.) Затем мы разложим 
в этой координатной системе:
где
и
Из (3.42) известно, что
где
Точно так же, как на стр. 298 (20), рассмотрим первые 
координат. Отношение правдоподобия равно
Приведя подобные члены, полагая 
и логарифмируя, получим
Используя (174) и (175), имеем
Из (166) нетрудно усмотреть, что сумма под интегралом равна 
. Поэтому
Это выражение тождественно (153).
Заметим, что если бы не использовался метод выбеливания, то необходимо было бы просто задать 
в соответствии с нашими условиями, когда мы подошли к этому моменту данного вывода. Позднее при рассмотрении более общих задач обнаружения (в частности в гл. 3 второго тома) этот непосредственный вывод можно будет легко продолжить.
