4.2.2. Линейная оценка

В § 4.1.1 была сформулирована задача оценки параметров сигнала в присутствии аддитивного шума. Для случая аддитивного белого шума принятое колебание можно записать в виде

где выборочная функция белого гауссова процесса, имеющего спектральную плотность Параметр А и есть та величина, которую мы хотим оценить. Если он является случайным параметром, то будем полагать, что априорная плотность известна, и используем байесовскую процедуру оценки. Если же он является неслучайной величиной, то будем использовать оценки по максимуму правдоподобия. Функция есть детерминированное отображение параметра А во временную функцию. Если есть линейное отображение (другими словами, справедлив принцип суперпозиции), то систему, в которой используется такой сигнал, называют системой линейной модуляции. Кроме этого, для интересующего нас критерия устройство оценки называется линейным. Поэтому данная задача называется задачей линейной оценки. В настоящем параграфе исследуется процедура

линейной оценки, а в § 4.2.3 — нелинейной оценки. Для линейной модуляции (88а) всегда можно записать в виде

где имеет единичную энергию.

Задачу линейной оценки легко решить, используя ее сходство с задачей обнаружения, которая только что была разобрана. Из § 2.4 известно, что для этого необходима функция правдоподобия. Напомним, однако, что данная задача существенно упрощается, если можно найти достаточную статистику и далее заниматься ею, а не принятым колебанием.

Если сравнить (886) и (4) — (7), то станет очевидным, что достаточная статистика есть

Точно так же, как и в § 4.2.1, плотность вероятности величины при условий, что является гауссовой:

Легко убедиться, что координаты по другим ортогональным функциям [см. (8)] не зависят от а. Следовательно, задача обнаружения сигнала сводится к классической задаче оценки (см. стр. 67—69).

Логарифм функции правдоподобия равен

Если А — неслучайная величина, то оценка по отношению правдоподобия равна значению А, при котором эта функция имеет максимум. Таким образом

Приемник показан на рис. 4.28, а. Нетрудно заметить, что оценка является несмещенной.

Если а есть случайная величина с плотностью вероятности то оценка по максимуму апостериорной вероятности равна значению при котором величина

имеет максимум. В частном случае, когда а является гауссовой величиной, оценку по максимуму апостериорной вероятности легко получить, дифференцируя и приравнивая результат нулю:

и

В обоих случаях оценки — по максимуму правдоподобия и по максимуму апостериорной вероятности — легко показать, что результат совпадает с абсолютным максимумом.

Приемник, реализующий оценку по максимуму апостериорной вероятности, изображен на рис. 4.28, б. Отметим, что эти два приемника отличаются только усилением. Нетрудно получить выражения для нормированных дисперсий ошибок.

Рис. 4.28. Оптимальный приемник. Случай линейного оценивания: а — приемник по критерию максимального правдоподобия; б — приемник по критерию максимальной апостериорной плотности.

При оценке по максимуму апостериорной вероятности

Здесь ожидаемое значение принятой энергии. При оценке по максимуму правдоподобия

Здесь есть фактическое значение энергии принятого сигнала. Заметим, что дисперсия оценки по максимуму правдоподобия есть величина, обратная показателю достоверности (качества критерия) в простой бинарной задаче. В обоих случаях единственный способ уменьшить среднеквадратическую ошибку — это увеличить отношение сигнал/шум. Во многих случаях достижимые отношения сигнал/шум недостаточны для обеспечения требуемой достоверности. В таких случаях, стремясь достигнуть требуемой достоверности, мы пытаемся

применить нелинейные методы передачи и обработки сигналов. В следующем параграфе будут рассмотрены вопросы нелинейных оценок.

Прежде чем завершить изложение вопросов линейных оценок, следует указать, что оценка по максимуму апостериорной вероятности для широкого класса критериев совпадает с байесовской оценкой. Если величина а — нормальная, то апостериорная плотность вероятности также нормальна и применимы свойства 1 и 2 стр. 70—71 Указанная инвариантность относительно критериев зависит непосредственно от линейной модели обработки сигналов.