Многоальтернативная задача обнаружения на фоне белого гауссова шума.

Допустим, что имеется гипотез

Все имеют единичную энергию, но могут быть коррелированными

Эта задача аналогична многоальтернативной задаче в гл. 2. Основная трудность применения критерия отношения правдоподобия при произвольном распределении стоимостей заключалась в определении границ областей решений. Займемся отысканием приемлемой системы достаточных статистик и оценим минимальную вероятность ошибки для некоторых интересных случаев.

Рис. 4.18. Приемник, осуществляющий выбор наибольшего сигнала.

Построим сначала целесообразную координатную систему с тем, чтобы найти пространство решений с минимально возможным числом измерений. Процедура построения такой системы есть простое распространение метода, используемого для случая двух измерений. Первой координатной функцией является просто первый сигнал. Второй координатной функцией служит та компонента второго сигнала, которая линейно независима от первого сигнала и т. д. Пусть

Чтобы построить третью координатную функцию, запишем

и найдем и из требования ортогональности, а из требования, чтобы была нормированной. (Этот метод носит наименование

метода Грама — Шмидта и подробно изложен в задаче 4.2.7.) Поступаем таким образом до тех пор, пока не произойдет одно из двух:

1. Будет получено ортонормированных функций.

2. Будет получено ортонормированных функций, а остальные сигналы можно будет представить линейными комбинациями указанных ортонормированных функций. Следовательно, пространство решений будет иметь максимум измерений или менее, если сигналы линейно зависимы.

Далее мы используем эту систему ортонормальных функций для получения коэффициентов

Это статистически независимые нормальные случайные величины с дисперсией средние значения которых зависят от того, какая гипотеза является истинной:

Выражение для критерия отношения правдоподобия следует непосредственно из наших результатов в гл. 2 (задача 2.6.1). Когда критерием служит минимальная вероятность ошибки, необходимо вычислять величины

и выбрать из них наибольшую. (Вариант для другого распределения стоимостей дан в задаче 2.3.2.) Проиллюстрируем изложенное двумя примерами.

Пример 1. Пусть

и

( — произвольное целое число). Мы видим, что

и

Нетрудно заметить, что есть соответственно. Пространство решений показано на рис. 4.19, а. Области решений легко получить, когда используется критерий минимальной вероятности ошибки и априорные вероятности равны. Используя (45), получим области решений, показанные на рис. 4.19, б.

Рис. 4.19. Пространство решений.

Пример 2. Пусть

произвольное целое число) и

Теперь

В этом случае и пространство решений является трехмерным, как показано на рис. 4.20, а. При критерии минимальной и равных априорных вероятностях области решений легко установить из (45). Границами служат плоскости, перпендикулярные к плоскости, проходящей через точки

Рис. 4.20. Пространство решений при ортогональных сигналах: а — трехмерное; б - двумерное.

Таким образом, для принятия решения используется только проекция вектора на эту плоскость. Следовательно, можно свести пространство решений к двумерному, как показано на рис. 4.20, б. (Коэффициенты и гберутся по двум ортонормированным координатным функциям, используемым для определения плоскости.)

Заметим, что в примерах 1 и 2 системы сигналов были столь простыми, что процедуры Грама-Шмидта не потребовалось.

Очевидно, эти результаты полностью аналогичны случаю гипотез в гл. 2. Как мы уже видели, вычисление ошибок по своей идее весьма просто, однако при обычно оказывается утомительным. Для иллюстрации этой процедуры вычислим для примера 1.

Пример 1 (продолжение). Предположим, что гипотезы равновероятны. Теперь задача стала симметричной. Следовательно, достаточно предположить, что был передан сигнал и вычислить получающуюся (Очевидно, что . Заметим также, что ответ должен быть инвариантен к повороту системы сигналов на 45°, поскольку шум имеет круговую (центральную) симметрию.

Рис. 4.21. Поворот сигнала.

Таким образом, интересующая нас задача сводится к простой ситуации, показанной на рис. 4.21.

Вероятность ошибки есть просто вероятность того, что лежит вне первого квадранта, когда истинна гипотеза

Теперь стали независимыми гауссовыми величинами с одинаковыми средними и дисперсиями:

можно получить путем интегрирования по площади, исключая первый квадрант. С другой стороны, равна единице минус интеграл, взятый по первому квадранту:

Заменяя переменные, имеем

что и является требуемым результатом.

Еще одним полезным примером может служить обобщение примера 2.

Пример 3. Допустим, что

а

и гипотезы равновероятны. Поскольку энергии сигналов одинаковы, удобно реализовать приемник, работающий по критерию отношения правдоподобия, как приемник «по наибольшему сигналу», показанный на рис. 4.22.

Рис. 4.22. Приемник, выбирающий наибольший сигнал.

И на этот раз задача оказывается симметричной, так что можно предположить, что истинной является гипотеза Тогда ошибка возникает всякий раз, когда любая из

Следовательно,

или, замечая, что имеет такую же плотность вероятности по гипотезе

В этом частном случае плотности вероятностей равны

и

Подставляя эти выражения в (56) и нормируя величины, получим

К сожалению, в этом выражении нельзя выполнить интегрирование аналитически. Численные результаты для некоторых значений табулированы в [21] и показаны на рис. 4.23. Для некоторых наших целей более полезным является приближенная аналитическая формула. Выведем весьма простое граничное выражение. Ряд других полезных граничных выражений получен в задачах вне основного текста. Как легко заметить из (55), выражение для можно переписать в виде

Рис. 4.23. Вероятность ошибки в случае ортогональных сигналов.

Но несколько могут быть больше, чем (События не являются взаимно исключающими Следовательно,

Но член в скобках есть просто выражение вероятности ошибки для случая двух ортогональных сигналов. Используя (36) при в (40), получим

(Выражение (64) можно также получить непосредственно (63) путем замены переменной Это уравнение можно еще более упростить, если использовать (2.71)

Заметим, что верхняя граница возрастает линейно с увеличением Граничное выражение для случая представлено графически на рис. 4 23.

Сходная задача, где имеет место ортогональных сигналов, возникает при передаче последовательности двоичных цифр.

Пример 4. Последовательность цифр. Рассмотрим простую цифровую систему, изображенную на рис. 4.24, где источник выдает двоичную цифру каждые секунд. Значения 0 и 1 выходной величины равновероятны. Мощность передатчика равна Ради простоты будем полагать, что используются ортогональные сигналы. Возможны следующие варианты выбора:

1. Передавать один из двух ортогональных сигналов каждые секунд. При этом энергия, приходящаяся на элементарный сигнал, будет равна

2. Передавать один из четырех ортогональных сигналов каждые секунд. В этом случае энергия, приходящаяся на элементарный сигнал, составит Например, в кодирующем устройстве может осуществляться операция отображения:

Рис. 4.24. Цифровая система связи.

3. В общем случае можно передавать один из ортогональных сигналов каждые секунд. При этом энергия каждого сигнала будет равна Для вычисления вероятности ошибки используем (59)

Вычисления по формуле (66) произведены численными методами [19] и представлены графически на рис. 4.25. Поведение представляет интерес. Выше некоторого значения вероятность ошибки с увеличением убывает. Ниже этого значения справедливо обратное. Поучительно исследовать поведение при Из (66) путем простой замены переменных получим

Рассмотрим теперь предел логарифма от выражения, стоящего в фигурных скобках,

Рис. 4.25. Вероятность ошибки при вынесении решения в случае ортогональных сигналов, ограниченных по мощности.

Вычисляя этот предел (считая М непрерывной величиной и используя правило Лопиталя), найдем, что (см. задачу 4.2.15):

Таким образом, из непрерывности функции логарифма следует, что

Итак, наблюдается вполне определенное явление порога. Значение определяется тем, насколько быстро источник создает цифры. Точно скорость передачи в двоичных единицах в секунду равна

При использовании ортогональных сигналов мы видим, что если

то вероятность ошибки будет стремиться к нулю. Очевидный недостаток использования таких сигналов заключается в потребной полосе частот, возрастающей с увеличением При ширина спектра передачи неограниченно возрастает.

Формула (72) была получена для конкретной системы сигналов. Шеннон показал (см., например, [22] или [23]), что правая часть (72) есть предельная скорость безошибочной передачи информации любой системой связи. Эта скорость называется пропускной способностью канала с аддитивным гауссовым шумом, имеющего бесконечно широкую полосу частот,

Шеннон также получил выражение для канала с ограниченной полосой пропускания (здесь ширина канала до модулятора)

Эти формулы пропускной способности имеют фундаментальное значение для решения задачи передачи последовательностей цифр. Эту задачу мы рассматривать не будем, поскольку адекватное ее обсуждение отвлечет слишком далеко от нашей темы. Интересующегося читателя можно отослать к [18] и [66].

В этом параграфе мы получим канонические структуры приемника для многоальтернативной задачи, в которой принятый сигнал по каждой из гипотез представляет собой аддитивную смесь известного сигнала с белым гауссовым шумом. Простота полученных структур объясняется тем, что мы могли свести пространство наблюдений с бесконечным числом измерений к пространству решений, имеющему конечное число измерений.

В задачах вне основного текста мы постараемся пояснить смысл некоторых результатов. В самих же задачах получены следующие частные результаты:

1. Вероятность ошибки для любой системы одинаково коррелированных сигналов можно выразить через эквивалентную систему ортогональных сигналов (задача 4.2.9).

2. Наименьшее значение равномерной корреляции равно

Сигналы с этим свойством являются оптимальными, когда не имеется ограничения ширины спектра (задачи 4.2.9 — 4.2.12). Такие сигналы называются симплексными (простыми).

3. При больших ортогональные сигналы являются практически оптимальными.

Чувствительность. Прежде чем закончить рассмотрение задачи обнаружения сигналов в присутствии белого шума, следует обсудить важный вопрос, часто остающийся вне поля зрения. Мы занимались исследованием математической модели физической системы и предполагали, что такие интересующие нас величины, как нам известны точно. В реальной системе указанные величины будут отличаться от своих номинальных значений. Представляет интерес определить, как изменяется помехоустойчивость оптимального приемника при дрейфе величин относительно номинальных значений. Если помехоустойчивость сильно зависит от малых уходов (отклонений), то результаты расчета помехоустойчивости, произведенного при номинальных значениях величин, становятся сомнительными. Рассмотрим вопрос о чувствительности приемника к отклонениям от номиналов для простой бинарной задачи обнаружения.

Модель для этой задачи имеет вид:

Приемник состоит из согласованного фильтра, за которым следует решающее устройство. Импульсная характеристика согласованного фильтра зависит от формы сигнала Уровни энергии сигнала и шума влияют на порог решения в общем байесовском случае. (В случае критерия Неймана — Пирсона на установку порога оказывает влияние только уровень шума.) Существует несколько возможных методов

анализа проблемы чувствительности приемника к отклонениям величин от номиналов.

1. Делается предположение о том, что энергия и форма сигнала идентичны с энергией и формой сигнала принятой модели и рассчитывается изменение величин и обусловленное изменением энергии белого шума.

2. Делается предположение о том, что энергия сигнала и уровень шума идентичны энергии сигнала и уровню шума, принятым в модели, и рассчитывается изменение величин вызванное изменением энергии сигнала.

В обоих случаях к решению данной задачи можно подойти, определив сначала изменение величины обусловленное изменениями, произведенными в модели, а затем исследовав, как влияет изменение на поведение . В настоящем параграфемы исследуем влияние неточного знания сигнала на величину Прочие из упомянутых вопросов оставлены для самостоятельных упражнений. Предположим, что построен фильтр, согласованный с принимаемым сигналом

и что принятое колебание по гипотезе есть

где есть фактически принятый сигнал. Существует два общих метода установления связи между Первый метод назовем вариационно-функциональным.

Вариационно-функциональный метод. Пусть

где нормированное колебание, отображающее неточности. Энергия сигнала ошибки считается равной Ее. Наиболее просто влияние последнего ограничения можно установить путем исследования соответствующего пространства решений (точнее, модифицированного пространства решений). Чтобы включить в пространство решений все мы мысленно добавляем еще один согласованный фильтр

где коэффициент корреляции между (Заметим, что физически мы этого не осуществляем.) Теперь имеется двумерное пространство. Отсюда очевиден смысл введенного ограничения. Любой сигнал приводит к точке на окружности, охватывающей точку как показано на рис. 4.26. Заметим, что в решении все равно используется только координата по сигнал ошибки, обусловливающий наибольшее снижение достоверности, есть

и, следовательно,

Данный результат можно записать и по-другому

где

Мы видим, что сигналы ошибки с малой энергией вызывают незначительное изменение достоверности (качества критерия). Таким образом, данный критерий нечувствителен к малым отклонениям параметров. Второй метод называется вариационно-параметрическим методом.

Рис. 4.26. Годограф сигнального вектора в случае, когда фиксирована энергия сигнала ошибки.

Рис. 4.27. Годограф сигнального вектора в случае, когда фиксирована энергия полного сигнала.

Вариационно-параметрический метод. Сущность этого метода лучше всего можно пояснить на примере. Пусть

будет номинальным сигналом. Реальный сигнал можно записать как

что при соответствует номинальному сигналу. Преобразованное пространство решений изображено на рис. 4.27. Конец вектора, соответствующего реальному сигналу, движется по окружности с центром в начале координат

и

Вновь убеждаемся в нечувствительности критерия к малым отклонениям параметров.

Общий вывод, который можно сделать из двух рассмотренных методов, сводится к тому, что результаты обнаружения в присутствии белого шума не зависят от различного рода допущений детального характера. Другими словами, малые отклонения от тех допущений, на которых основывается расчет качества критерия, приводят к малым отклонениям в качестве. Почти во всех случаях этот тип нечувствительности является необходимым, если мы хотим, чтобы математическая модель позволяла точно предсказать качество реальной системы.

Во многих работах по статистическому анализу этому вопросу не уделяется внимание. Причина этого, видимо, психологического характера. После того, как рассмотрены математически сложные задачи оптимизации, было бы приятно показать возможность существенного, скажем, на порядок, выигрыша оптимизированной системы по сравнению с системой, построенной исходя из интуитивных представлений. К сожалению, это не всегда получается. Когда же такой выигрыш имеет место, необходимо определить, не влияют ли некоторые ограничения детального характера на математический результат. В последующем нам придется встретиться с несколькими примерами подобной зависимости. Обратимся теперь к проблеме линейной оценки.