4.3.4. Достоверность обнаружения

Следующий интересующий нас вопрос — как влияет наличие коррелированного шума на достоверность (качество) обнаружения? В процессе его изложения возникает ряд интересных аспектов. Рассмотрим сначала случай простого бинарного обнаружения.

Достоверность в задаче простого бинарного обнаружения. Рассматривая структуру приемника на рис. 4.38, а, нетрудно убедиться, что по помехоустойчивости он тождествен приемнику, у которого

входной сигнал равен а помеха — белый шум со спектральной плотностью, равной 2. Используя (10) и (11), имеем

Таким образом, показатель достоверности (качества) просто равен энергии «выбеленного сигнала». Этот показатель можно также выразить через исходный сигнал

Для выполнения интегрирования используем определение Получим

Отсюда видно, что достоверность обнаружения уже не является независимой от формы сигнала. Поэтому логично найти наилучшую возможную форму сигнала. Представляют интерес три случая.

1. : интервал сигнала и интервал наблюдения совпадают.

2. : интервал наблюдения выходит за пределы интервала сигнала в одном или обоих направлениях оси времени, оставаясь, однако, конечным.

3. : интервал наблюдения бесконечен в обоих направлениях.

Мы рассмотрим только первый случай.

Оптимальная форма сигнала. Совпадающие интервалы. Задача состоит в ограничении энергии сигнала и определении того, как влияет на достоверность обнаружения тонкая структура сигнала Ответ получается сразу. Запишем

Тогда

где

Заметим, что

так как функции являются нормированными.

Из (200) видно, что есть просто взвешенная сумма Поскольку (202) ограничивает сумму нам необходимо распределить энергию сигнала таким образом, чтобы с большими весами обладали и большей энергией. Если существует наименьшее собственное значение, скажем можно максимизировать, положив а все остальные Представляют интерес два случая.

1. Если функция является положительно определенной, то число собственных значений бесконечно. Наименьшего собственного значения не существует. Полагаем а все прочие Тогда при условии, что собственные значения расположены в порядке убывания их величины,

при увеличении Для многих видов небелых (коррелированных) помех, встречающихся на практике (например, однополюсный спектр, показанный на рис. 3.9), частота собственной функции возрастает по мере уменьшения собственных значений. Иначе говоря, мы увеличиваем частоту сигнала до тех пор, пока коррелированный шум не станет пренебрежимо малым. В этих случаях более реалистичную постановку задачи построения сигнала мы получим введением ограничения ширины спектра.

2. Если является только неотрицательно определенной, то будут иметь место нулевые собственные значения. Если собственная функция, соответствующая какому-либо из них, то

Видно, что качество (достоверность) обнаружения наилучшего сигнала ограничивается белым шумом.

Сингулярность. Влияние факта исключения из рассмотрения белого шума легко проследить, если в (200) положить Если небелый шум является положительно определенным (случай 1), то все собственные значения отличны от нуля. Идеального обнаружения можно достичь тогда и только тогда, когда сумма

Это условие может быть выполнено, если выбрать так, чтобы были пропорциональны V- Напомним, что

Правая часть, согласно нашему предположению, сделанному после (145), является конечной. Поэтому энергия сигнала будет конечной. Если бы присутствовала компонента белого шума, то невозможно было бы достичь пропорциональности для всех при конечной энергии сигнала. В случае 2 имеются нулевые собственные значения. Поэтому мы получим посредством выбора для любого соответствующего нулевому собственному значению.

Указанные два случая соответствуют так называемому вырожденному (сингулярному) обнаружению. Для произвольно малых интервалов времени и произвольно малых уровней энергии достигается идеальное обнаружение. Вполне понятно, такое качество обнаружения невозможно получить в реальной физической ситуации. Но поскольку нашу математическую модель мы ввели для оценки качества реальной системы, необходимо, чтобы она была достаточно реалистичной, с тем чтобы исключить возможность сингулярного обнаружения. Мы исключили такую возможность, введя требование наличия компоненты белого шума, учитывающей тепловой шум приемника. Часто такой шум оказывается несущественным. Если же, однако, мы синтезируем сигнал для устранения влияния всех прочих помех, то этот шум становится величиной, которая ограничивает достоверность обнаружения и не позволяет нашей математической модели предсказывать результаты, которые не будут иметь место на практике.

Из (196) известно, что энергия выбеленного сигнала. Следовательно, если выбеленный сигнал обладает конечной энергией, то критерий не является вырожденным. Когда пространство наблюдения бесконечно, а шумовой процесс стационарен и имеет рациональный спектр, в конечности энергии нетрудно убедиться. Сначала найдем передаточную функцию выбеливающего фильтра. Напомним, что

Потребуем, чтобы помеха была белым шумом с единичной спектральной плотностью. Из этого следует, что

Произведя преобразование, получим

или

Теперь предположим, что обладает рациональным спектром

Обозначим разность между порядками знаменателя и числителя (как функций через

Если мощность конечна, то 1. Однако, если шум содержит компоненту белого шума и компоненту небелого шума с конечной мощностью, то Используя (207а) в (2066), легко заметить, что можно записать как отношение двух полиномов по степеням

Алгоритм отыскания коэффициентов этих полиномов будет выведен в гл. 6. Для нас сейчас их истинные значения не существенны. Поделив числитель на знаменатель, получим

где - постоянные величины, остаточный полином порядка ниже, чем Напомним, что в частотной области соответствует взятию производной порядка во временной области. Следовательно, для того чтобы критерий был невырожденным, производная порядка должна иметь конечную энергию. Иначе говоря, если

то критерий является невырожденным. Например, если

то

и производная должна иметь конечную энергию. Если бы мы моделировали сигнал в виде идеального прямоугольного импульса, то наша модель указала бы на идеальную обнаруживаемость. Мы знаем, что указанная идеальная обнаруживаемость на практике не имеет места. Поэтому необходимо несколько видоизменить нашу модель, так чтобы она позволяла точно рассчитать помехоустойчивость системы. В данном случае вырожденный результат можно устранить, если допустить конечное время нарастания импульса или добавить к шуму белую компоненту. Очевидно, если имеется небелый шум конечной энергии плюс независимая компонента белого шума, то интеграл (209) есть просто энергия сигнала и вопроса о вырожденности не возникает.

В наших рассуждениях мы исходили из предположения, что интервал наблюдения является бесконечным. Ясно, что если критерий является невырожденным на бесконечном интервале, то он будет невырожденным и на конечном интервале, поскольку зависимость качества обнаружения от длины интервала наблюдения имеет монотонный характер. Обратное утверждение несправедливо. Из вырожденности на бесконечном интервале не следует вырожденность на конечном интервале. В этом случае необходимо проверить (203) или прибегнуть к операции выбеливания на конечном отрезке времени.

В большей части нашего изложения мы исходили из допущения о наличии белого шума, поэтому вырожденных критериев у нас никогда не было. Если это предположение снять, то необходимо проверить нашу модель с тем, чтобы убедиться, что она не соответствует вырожденному критерию.

Приемники для общего бинарного случая. До сих пор рассматривались только задачи простого бинарного обнаружения. Результаты легко распространить на общий случай. Пусть

где нормированы на интервале и равны нулю вне его. Рассуждая точно таким же образом, как и в случае простого бинарного обнаружения, получим следующие результаты. Одна из блок-схем приемника изображена на рис. 4.40, а. Функция удовлетворяет уравнению

Достоверность обнаружения характеризуется показателем

Функции определяются выражениями (145) и (161) соответственно. В качестве альтернативного варианта можно использовать выбеливающую реализацию, показанную на рис. 4.40, б. Здесь удовлетворяет уравнению (158) и

Показатель достоверности определяется величиной энергии в выбеленном разностном сигнале

Многоальтернативный случай обнаружения также представляет собой непосредственное развитие случая простого бинарного обнаружения (см. задачу 4.3.5).

Рис. 4.40. Варианты построения блок-схемы приемника для случая общей бинарной задачи при небелом шуме.

Из наших рассуждений для случая белого шума можно ожидать, что результаты для случая отыскания оценки получить столь же нетрудно. Этот случай кратко рассмотрен в следующем параграфе.