Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.3. Нижняя граница среднеквадратической ошибки оценкиПри рассмотрении вопросов оценки конечных множеств случайных величин было установлено, что чрезвычайно полезным результатом является выражение для нижней границы среднеквадратической ошибки, которую может иметь любая оценка. Впоследствии будет показано, что при оценке сигналов подобное выражение столь же полезно. В данном параграфе мы выведем выражение для нижней границы среднеквадратической ошибки, которую может иметь любая оценка случайного процесса. Прежде всего определим сигнал ошибки
и
где
Учитывая ортогональность собственных функций, имеем
Нам необходимо найти нижнюю границу суммы, стоящей в правой части (70). Рассмотрим сначала сумму Из материалов гл. 4 известно, что прежде всего необходимо написать информационную матрицу
и
После отыскания матрицы
или, если выразить через
Из (19) и (20) следует
Складывая (726) и (72в) и дифференцируя сумму по
Дифференцируя по и включая знаки минус, имеем
+ члены с нулевым математическим ожиданием. Из (73) видно, что эффективная оценка будет существовать только тогда, когда модуляция линейна (см. стр. 94). Для интерпретации первого члена вспомним, что
Так как мы используем только К членов, то определим
Форма записи первого члена в (73) предполагает задание
Заметим, что
И на этот раз
так что если определить
то можно записать элементы матрицы
Теперь найдем обратную матрицу
где функция
(Напомним, что надстрочными индексами Если обозначить производную от
Аналогично
Поэтому
Подставляя (84) в (82), умножая на
Из (2.292) известно, что диагональные элементы
Используя (81) в (86а), а результат в (70), имеем
или, используя (3.128),
Следовательно, для того чтобы найти нижнюю границу, необходимо решить (85) для Теперь можно интерпретировать результат (85). Сначала рассмот рим случай, когда присутствует только компонента белого шума, так что
Тогда (85) принимает вид
Все последующие вычисления значительно упрощаются, если
Тогда
и
Полагая
Предполагается, что содержащиеся в
Рис. 5.10. Интерпретация линейной системы. Так как
Функция
Решение этого уравнения дает требуемую функцию. С математической точки зрения (95) являетея вполне адекватным окончательным результатом. Можно, однако, получить весьма полезную физическую интерпретацию этого результата, если заметить, что (95) знакомо нам в другом контексте. Напомним следующую задачу линейной фильтрации (см. гл. 3, стр. 235)
где
где
то
Ошибка в задаче линейной фильтрации равна
Наша граница для задачи нелинейной модуляции соответствует среднеквадратической ошибке в задаче линейной фильтрации, за исключением лишь того, что уровень шума снижается в Величина например, фазовая модуляция, Нетрудно привести аналогичную интерпретацию для случая коррелированного шума. Прежде всего введем эффективный шум, обратное ядро которого равно
Его ковариационная функция удовлетворяет уравнению
Тогда можно показать, что
где
Это и есть аналог (95) для случая коррелированного шума. В двух важных частных случаях получаются более простые выражения. Случай 1.
Тогда (87) переходит в соотношение
Если ввести функцию
то
Дальнейшего упрощения можно достигнуть, когда интервал наблюдения охватывает бесконечное прошлое и будущее. Случай 2. Стационарные процессы на бесконечном интервале. В данном случае предполагается, что
Тогда
Преобразование
Тогда из (82) и (85) следует, что
(символом
Проиллюстрируем несколькими простыми примерами применение этого граничного выражения. Пример 1. Предположим, что применим случай 2. Кроме этого, допустим, что
Так как модуляция является линейной, то эффективная оценка существует. Несущая отсутствует, поэтому
Подставляя (119) в (117), получаем
Выражение в правой части (120), как будет показано в гл. 6, оказывается минимальной среднеквадратической ошибкой для приемника с нереализуемым линейным фильтром. Таким образом, как и следовало ожидать, эффективная оценка получается путем обработки В качестве второго примера приведем линейную модуляцию синусоидального колебания. Пример 2. Предположим, что применим случай 2 и что несущая модулируется по амплитуде сообщением, т. е.
где верхняя граничная частота спектра
Ради простоты допустим, что шум имеет равномерный спектр, ширина которого много больше ширины спектра
Можно убедиться, что оценку с такой ошибкой можно получить путем умножения Пример 3. Рассмотрим фазомодулированное синусоидальное колебание на фоне аддитивного белого шума. Предположим, что
и
Используя далее (92), видим, что
По аналогии с примером 2 получим
При линейной модуляции ошибка является функцией только спектра сообщения, мощности передачи и уровня белого шума. При данном спектре и уровне шума единственным способом уменьшения среднеквадратической ошибки является повышение передаваемой мощности. В нелинейном случае мы видим, что границу среднеквадратической ошибки можно снизить путем увеличения индекса модуляции максимуму апостериорной вероятности является асимптотически эффективной. С другой стороны, если велико, Главные результаты данного параграфа сводятся к уравнениям (85), (95) и (97). Первое из них определяет матрицу При рассмотрении обнаружения и оценки мы видели, что приемнику часто приходится обрабатывать несколько входных процессов. Аналогичные ситуации встречаются в задаче оценки сигналов.
|
1 |
Оглавление
|